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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:04 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Dani_NM |
| Aufgabe 1 | | Die Zahl 36 wird in zwei Summanden zerlegt. Für welche Zahlen wird die Summe ihrer Quadrate möglichst klein? |
| Aufgabe 2 | Von einem rechteckigen Stück Blech mit den Seiten a = 8 cm und b = 5 cm werden an den vier Ecken Quadrate herausgeschnitten. Biegt man die Randstücke hoch, erhält man eine oben offene Dose.
1. Schreiben Sie das Volumen der Dose in Abhängigkeit der Quadratseite x.
2. Bestimmen Sie den Definitionsbereich
3. Wie groß ist x zu wählen, damit das Volumen maximal wird? |
zur 1: Als Zielfunktion habe ich f (x,y) = x² + y² und als Nebenbedingung x + y = 36. Habe nach x aufgelöst x = 36 - y und dann in die Zielfunktion eingesetzt: f (y) = 2y² - 72y + 1296
Habe dann die erste Ableitung gebildet und für y = 18 herausbekommen. Was dann für x auch 18 ergibt. Als kleinstmögilche Summe ihrer Quadrate habe ich dann 648. Stimmt das so?
zur 2: Hier dachte ich mir: V = a b c
a = 8 - 2x
b = 5 - 2x
c = x
Konnte mir dann auch das Volumen in Abhängigkeit von x berechnen: V (x) = 4x³ - 26x² + 40x (Richtig?)
Die erste Ableitung ist V' (x) = 12x² - 52x + 40 und habe dann über die Diskriminante zwei x herausbekommen. 1. x = 3 1/3 und 2. x = 1.
Mein Problem ist, dass ich irgendwie auf keine Nebenbedingung komme und es mir so nicht möglich ist, den Definitionsbereich zu bestimmen. Das heißt ich kann nicht sagen, welches von den beiden x das Maximum ist.
Wer kann mir hier bitte weiterhelfen?
Vielen Dank.
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Hallo!
> Die Zahl 36 wird in zwei Summanden zerlegt. Für welche
> Zahlen wird die Summe ihrer Quadrate möglichst klein?
> Von einem rechteckigen Stück Blech mit den Seiten a = 8 cm
> und b = 5 cm werden an den vier Ecken Quadrate
> herausgeschnitten. Biegt man die Randstücke hoch, erhält
> man eine oben offene Dose.
> 1. Schreiben Sie das Volumen der Dose in Abhängigkeit der
> Quadratseite x.
> 2. Bestimmen Sie den Definitionsbereich
> 3. Wie groß ist x zu wählen, damit das Volumen maximal
> wird?
> zur 1: Als Zielfunktion habe ich f (x,y) = x² + y² und als
> Nebenbedingung x + y = 36. Habe nach x aufgelöst x = 36 - y
> und dann in die Zielfunktion eingesetzt: f (y) = 2y² - 72y
> + 1296
> Habe dann die erste Ableitung gebildet und für y = 18
> herausbekommen. Was dann für x auch 18 ergibt. Als
> kleinstmögilche Summe ihrer Quadrate habe ich dann 648.
> Stimmt das so?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ich konnte keinen Fehler finden. Und Einsetzen mit den nächstmöglichen Zahlen (17 und 19 oder 16 und 20) lässt auch auf keine Fehler schließen. 
> zur 2: Hier dachte ich mir: V = a b c
> a = 8 - 2x
> b = 5 - 2x
> c = x
>
> Konnte mir dann auch das Volumen in Abhängigkeit von x
> berechnen: V (x) = 4x³ - 26x² + 40x (Richtig?)
>
> Die erste Ableitung ist V' (x) = 12x² - 52x + 40 und habe
> dann über die Diskriminante zwei x herausbekommen. 1. x = 3
> 1/3 und 2. x = 1.
>
> Mein Problem ist, dass ich irgendwie auf keine
> Nebenbedingung komme und es mir so nicht möglich ist, den
> Definitionsbereich zu bestimmen. Das heißt ich kann nicht
> sagen, welches von den beiden x das Maximum ist.
![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Deine Vorgehensweise ist exakt richtig, und auch bei den Rechnungen konnte ich keinen Fehler finden. Allerdings hast du schon Nebenbedingungen, nämlich die obigen mit a=..., b=... und c=.... Was du nur vergessen hast, ist, dass bei einem Hochpunkt die zweite Ableitung ja <0 sein muss. Berechne also die zweite Ableitung und setze sowohl x=1 also auch [mm] x=3\bruch{1}{3} [/mm] ein und du siehst, dass du sowohl einen Hoch- als auch einen Tiefpunkt hast.
Mit dem Definitionsbereich hat das ganze nichts zu tun. Der Definitionsbereich ist hier nur "logisch" zu wählen, da z. B. negative x-Werte keine Sinn machen, und wenn die kürzere Seite nur 5 cm lang ist, kann x maximal 2,5 cm sein (sonst könnte man ja nicht an beiden Ecken x abschneiden). Da x=2,5 cm aber auch nicht wirklich Sinn macht, weil dann nämlich nichts zum Hochklappen mehr übrig bleibt, würde ich ein offenes Intervall angeben:
[mm] x\in(0;2,5)
[/mm]
Alles klar?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Mi 22.03.2006 | | Autor: | Dani_NM |
Okay soweit hab ichs verstanden. Die zweite Ableitung: V '' (x) = 24x - 52. Und sie ist nur <0 wenn ich für x =1 einsetze, somit müsste dann dies das absolute Maximum sein oder? Das mit dem Definitionsbereich leuchtet mir ein. Aber müsste ich dann nicht die 2,5 auch ausschließen? Weil ja dann (wie du schon gesagt hast) nix mehr zum Hochklappen übrig wäre.
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo Dani!
> Okay soweit hab ichs verstanden. Die zweite Ableitung:
> V '' (x) = 24x - 52. Und sie ist nur <0 wenn ich für x =1
> einsetze,
> somit müsste dann dies das absolute Maximum sein oder?
Es handelt sich erstmal nur um ein relatives Maximum. Um zu überprüfen, ob es sich um ein absolutes Maximum handelt, musst Du Dir die Ränder des Definitionsbereiches ansehen.
Also, welches "Volumen" liegt vor bei $x \ = \ 0$ bzw. $x \ = \ 2.5$ ?
Wenn diese Werte kleiner sind als $V(1)_$ , handelt es sich auch um das absolute Maximum.
> Das mit dem Definitionsbereich leuchtet mir ein. Aber
> müsste ich dann nicht die 2,5 auch ausschließen? Weil ja
> dann (wie du schon gesagt hast) nix mehr zum Hochklappen
> übrig wäre.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo!
Roadrunner hat dir ja schon einen Teil beantwortet.
> müsste ich dann nicht die 2,5 auch ausschließen? Weil ja
> dann (wie du schon gesagt hast) nix mehr zum Hochklappen
> übrig wäre.
Nur noch kurz hierzu: Was du sagst, ist richtig, das hatte ich aber mit der Schreibweise auch schon so gemacht. Runde Klammern, also "(" und ")", bedeuten nämlich, dass die jeweiligen Punkte nicht mehr drin sind. Im Gegensatz dazu nimmt man eckige Klammern, also "[" und "]", wenn die Punkte noch drin sind. Es gilt also:
[mm] x\in [/mm] (a;b) [mm] \gdw [/mm] a<x<b
[mm] x\in [/mm] [a;b] [mm] \gdw $a\le x\le [/mm] b$
Dann gibt es noch halboffene Intervalle:
[mm] x\in [/mm] (a;b] [mm] \gdw $a
und
[mm] x\in [/mm] [a;b) [mm] \gdw $a\le [/mm] x<b$
Übrigens schreibt man auch manchmal statt der runden Klammern eckige Klammern in die "falsche" Richtung, also:
[mm] x\in [/mm] (a;b) [mm] \gdw x\in [/mm] ]a;b[ und bei den halboffenen dann entsprechend.
So, um nochmal zu deiner Frage zurückzukommen: [mm] x\in [/mm] (0;2,5) bedeutet dann, dass x weder 0 noch 2,5 sein darf.
Viele Grüße
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Fr 24.03.2006 | | Autor: | Dani_NM |
Danke, ich hab nur nochmal nachgefragt, weil ich aus der Schule nur die eckigen Klammern in die "falsche" Richtung kenne ;o)
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