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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:49 So 07.05.2006 | | Autor: | Desperado |
| Aufgabe | | Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetzten Halbkreis.Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zu wählen ,damit die Querschnittsfläche 8 [mm] m^2 [/mm] groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird? |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich anfangen muss.Ich denke mir aber das man die Extremwerte berechnen muss.Muss ich eine Funktion f aufstellen?Wie mache ich das?
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Gruß Desperado
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:05 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Desperado. Gibts dazu irgendwie eine Zeichnung? Denn ich kann meine 'Antwort' sonst nur unter Vorbehalt geben, halt nach meiner Interpretation.
> Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals
> ist ein Rechteck mit aufgesetzten Halbkreis.Wie sind Breite
> und Höhe des Rechtecks zu wählen ,damit die
> Querschnittsfläche 8 [mm]m^2[/mm] groß ist und zur Ausmauerung des
> Kanals möglichst wenig Material benötigt wird?
> Hallo,
>
> ich weiß nicht wie ich anfangen muss.Ich denke mir aber das
> man die Extremwerte berechnen muss.Muss ich eine Funktion f
> aufstellen?Wie mache ich das?
Zunächst einmal solltest du dich fragen, was überhaupt gegeben ist:
Die Querschnittsfläche. Und was ist das? Vermutlich der Flächeninhalt (das kann man u. a. am [mm] m^2 [/mm] ablesen). Und dieser Flächeninhalt besteht aus dem Flächeninhalt eines Quadrats und eines Halbkreises. Daher lautet die Formel
[mm] $A=a*b+\br{1}{2} \pi r^2$
[/mm]
Wenn man sich eine 'Zeichnung' macht, erkennt man, dass r die Hälfte von a ist. Daraus folgt
[mm] $A=a*b+\br{1}{2} \pi (\br{a}{2})^2$
[/mm]
[mm] $A=a*b+\br{1}{2} \pi \br{a^2}{4}$
[/mm]
$A=a*b+ [mm] \pi \br{a^2}{8}$
[/mm]
A ist gegeben, nämlich [mm] 8m^2
[/mm]
$8=a*b+ [mm] \pi \br{a^2}{8}$ [/mm] Nebenbedingung
Zielfunktion:
Hier rätsel ich allerdings rum, in der Aufgabe steht: "Ausmauerung" und was ist das nun? Ich tippe darauf, dass es der Umfang sein soll (weil wir den Flächeninhalt ja schon als Querschnittsfläche definiert haben).
Und was gehört jetzt zum Umfang? Das ergibt sich aus der Zeichnung, die evtl. in deinem Buch ist?
Ansonsten würde ich tippen:
[mm] $U=a+2b+\pi [/mm] r$ mit r=0.5a
[mm] $U=a+2b+\pi [/mm] 0.5a$
Nun musst du die Nebenbedingung nach a oder b umstellen (was auch immer sinnvoll erscheint) und in die Zielfunktion einsetzen, ableiten, gleich null setzen, einen Wert für a (oder b) heraus bekommen, noch einmal ableiten, diesen Wert in die (zweite) Ableitung einsetzen und gucken, dass es minimal ist. Dann das zugehörige b (oder a) aus der Nebenbedingung errechnen. Fertig!
Antwort ist allerdings unter Vorbehalt - weil ich mir nicht sicher bin, ob die Aufgabe so gedeutet werden darf (siehe Zeichnung im Buch - oder gibts da keine?)
> Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Hoffe ich auch.
>
> Gruß Desperado
Gruß Disap
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Hallo,
Ja es ist eine Zeichnung abgebildet.Es muss der Umfang berechnet werden.
Ich habe jetzt nach b umgeformt und das raus :
b= 8/a - [mm] 3,14*a^2/8
[/mm]
stimmt das?
dann muss ich das in u einsetzen und die extremwerte berechnen.wie wird a beim Ableiten behandelt?Nicht als konstante oder? (a)´ = 1 oder?
Danke für deine Anwort!
Gruß Desperado
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:37 So 07.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo,
Moin.
> Ja es ist eine Zeichnung abgebildet.Es muss der Umfang
> berechnet werden.
> Ich habe jetzt nach b umgeformt und das raus :
>
> b= 8/a - [mm]3,14*a^2/8[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") es müsste lauten: b= 8/a - [mm] 3.14*\br{a^2}{8a}
[/mm]
also b=8/a-3.14a/8
> stimmt das?
>
> dann muss ich das in u einsetzen und die extremwerte
> berechnen.wie wird a beim Ableiten behandelt?Nicht als
> konstante oder? (a)´ = 1 oder?
Genauso wie x auch... (x)' =1
Die Zielfunktion lautet ja auch U(a), man muss also nach a ableiten.
Also wenn die Ansätze richtig sind (dafür könnte ich nur mit Zeichnung die Verantwortung übernehmen), so erhalte ich, wenn ich die Ableitung gleich null setze und Löse
a = [mm] \frac{-8}{\sqrt{\pi + 4}} [/mm]
und
a = [mm] \frac{8}{\sqrt{\pi + 4}}
[/mm]
(komische Werte)
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 Mi 17.05.2006 | | Autor: | Haase |
Habe ich auch raus 
1.HB
U=(pi/2+1)*a+2b
2.NB
[mm] A=(pi*a^2)/8 [/mm] + a*b
....
...
4.Ableitungen...
[mm] U^1=-2A/a^2 [/mm] + pi/4
5....
0=....
a=Wurzel(8A/pi)
a=3
...
...
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