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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 04.10.2004 | | Autor: | rapher |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Guten Tag fleißige Helfer,
habe bei folgender Aufgabe Probleme die Extrimal- und Nebenbedingung aufzustellen:
"Aus einem Baumstamm mit kreisförmigen Querschnitt soll ein Balken so geschnitten werden, dass der Abfall minimal wird."
Ich hab keine Ahnung wie ich daran gehen soll...habe an ein Quadrat gedacht im Kreis...mit A=2*r² aber weiter bin ich nicht gekommen ... Hoffe ihr könnt mir helfen.
MfG,
Raphael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Rapher!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ein Ansatz wäre der folgende:
Du denkst dir den kreisförmigen Querschnitt des Baumstammes und dazugehörig den Mittelpunkt dieses Kreises. Den Radius des Baumstammes kannst du beliebig auf 1 setzen, damit erleichterst du dir die Arbeit ein wenig.
Unsere Veränderliche soll der Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] werden, den ich im Bild eingezeichnet habe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wie im Bild eingemalt siehst du, dass die Grundfläche des Holzbalkens das Doppelte des Sinus von [mm] $\varphi$ [/mm] ist. Die Höhe des Balkens ist dementsprechend das doppelte des Kosinus' von [mm] $\varphi$.
[/mm]
Somit lautet bei gegebenem Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] die Querschnittsfläche des Holzstückes:
[mm] $2cos(\varphi)\cdot 2sin(\varphi)=4cos(\varphi)sin(\varphi)$.
[/mm]
Wegen [mm] $sin(2\alpha)=2sin(\alpha)cos(\alpha)$ [/mm] kannst du den Term noch zu
[mm] $=2sin(2\varphi)$
[/mm]
zusammenfassen.
Der Abfall ist nun die Differenz aus der Querschnittsfläche des Baumstammes und der des herausgeschnittenen Holzes. Die leitest du dann ab und suchst dir wie gewöhnlich dein Minimum.
Schaffst du das?
Liebe Grüße,
Hanno
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi!
Noch eine kleine Anmerkung:
Ich habe jetzt impliziert, dass der herauszuschneidende Balken an vier Punkten mit der Kreisperipherie des Querschnittes übereinstimmt. Dies wurde so nicht vorgegeben, man kann es scih aber recht einfach klar machen, schließlich ist jeder Balken, der die Peripherie nicht berührt, nicht optimal ausgeschnitten, da man ihn ihr hin noch weiter verlängern und somit den Abfall geringer machen würde.
Ist nicht die Welt, sollte aber erwähnt werden.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Di 05.10.2004 | | Autor: | rapher |
Ehrlich gesagt bringt mich dein Ansatz nicht wirklich weiter!
Habe jetzt aber einen anderen Lösungsweg gefunden:
Sei x, y die Seiten des Balkens, d der Durchmesser des Kreises und des Rechtecks!
1. A(x,y) = [mm] \pi [/mm] * ( [mm] \bruch{d}{2})² [/mm] - x * y -> min.
2. y= [mm] \wurzel{x²-d²}
[/mm]
Zielfunktion: A(x) = [mm] \pi [/mm] * ( [mm] \bruch{d}{2})² [/mm] - x * [mm] \wurzel{x²-d²}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Di 05.10.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Raphael!
Ok, so kann man es auch machen - sehr schön ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
Liebe Grüße,
Hanno
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