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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Gitti |
| Aufgabe | Einem Rechteck (l,b) soll das flächenkleinste gleichschenkelige Dreieck so umgeschrieben werden, dass dessen Basis c auf der Trägergeraden der Länge des Rechtecks liegt!
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir hier jemand weiterhelfen. LG Gitti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:55 Mi 30.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
zunächst musst du die nebenbedingungen in gleichungen fassen und mithilfe der hauptbedingung deine zielfunktion aufstellen.
es heisst im übrigen umbeschreiben.
was hast du gegeben:
ein rechteck mit den seitenlängen l und b.
mach dir doch mal ne skizze, das hilft oft!
das rechteck
C-----D
! !
A-----B
wenn eine seite des gleichschenkligen dreiecks (zb) auf l liegen soll (also auf [mm] \overline{AB} [/mm] ), müssen die schenkel dieses dreiecks durch die punkte C und D gehen, damit das gleichschenklige dreieck ein umbeschriebenes ist in bezug auf das rechteck.
d.h. das dreieck geht durch C und D und hat die spitze oberhalb von [mm] \overline{CD} [/mm] und zwar in der mitte von [mm] \overline{AB}; [/mm] und die seite c des Dreiecks ist die verlängerte strecke [mm] \overline{AB}.
[/mm]
die höhe h dieses dreiecks endet in der spitze und steht senkrecht auf [mm] \overline{AB} [/mm] und zwar gerade in der mitte von [mm] \overline{AB}. [/mm]
weitere hinweise:
strahlensatz (2.) könnte nützlich sein...
flächeninhaltsformel dreieck bze. rechteck...
poste doch einfach mal deine lösungsversuche!
gruß
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Do 31.05.2007 | | Autor: | Fulla |
Hi Gitti!
Ich hab mal eine Skizze gemacht, damit du meine Bezeichnungen leichter siehst:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Fläche des Dreiecks ist ja:
[mm] $A=\bruch{1}{2}(l+2x)(b+y)$
[/mm]
Auch wenn l und b bekannt (und konstant) sind, bleiben zwei Unbekannte: x und y...
Eine Beziehung zwischen x und y liefert der Strahlensatz:
[mm] $\bruch{x+l/2}{l/2}=\bruch{y+b}{y}\gdw\bruch{2x}{l}=\bruch{b}{y}$
[/mm]
Daraus folgt: [mm] y=\bruch{bl}{2x}
[/mm]
Dies setzt du jetzt in die Flächenformel ein. Dann hängt die Fläche nur noch von einer Unbekannten (x) ab und du kannst ganz easy ableiten und die Nullstellen berechnen...
Zur Kontrolle:
[mm] $A(x)=\bruch{4bx^2+4blx+bl^2}{4x}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow x=\bruch{l}{2}$ [/mm] bzw. $y=b$
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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