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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Flächeninhalt des größten Rechtecks, das einem gleichschenkeligen Dreieck eingeschrieben ist. |
Nun in meinem Aufgabenheft werden alle Aufgaben mittels Ableitungen (Extrema) gelöst. Dazu fehlt mir hier ein Ansatzpunkt. Ich habe im Forum schon Beiträge gefunden wie das mit dem Strahlensatz gehen könnte, aber ich glaube das ist hier nicht gewünscht.
Mein Problem ist auch, dass die Aufgabe sehr allgemein gehalten ist.
Wer kann mir da bitte einen Ansatzpunkt geben?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Di 11.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
> gleichschenkeligen Dreieck
Da die Seitenlänge nicht mit angegeben ist, musst du sie variabel auf l setzen.
Es ist eine Extremwertaufgabe. D.h. du benötigst zuerst eine Hauptbedingung, die das beschreibt was max./min. werden soll.
A=Flächeninhalt des Rechtecks=a*b
Nun kommt das kompliziertere. Wie passt das Recheck in das Dreieck ? Welche Bedingungen gelten dabei für die Längen a und b ?
Zeichne auf jeden Fall eine Skizze !
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
Ich tüftele schon eine Tag an der Aufgabe. Sizzen hab ich schon 3.
Das mit dem Rechteck ist auch klar. Im Groben kann man sagen, dass die Seiten des Rechtecks (fast) immer kürzer sind, als die des Dreiecks.
Also y kann so lang wie c werden oder auch 0
und x kann so hoch wie die Höhe des Dreiecks werden [mm] h_{c}=\bruch{1}{2}\wurzel{4a²-c²} [/mm] oder auch 0. Aber halt gegenläufig.
Was nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Di 11.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Du musst die beiden Längen x und y miteinander in Verbindung bringen.
D.h. du brauchst eine/beide Formel(n)
x=...irgendetwas mit y , oder
y=...irgendetwas mit x.
Dann kannst du x bzw. y in der HB. ersetzen und ableiten, da nur noch eine Variable bleibt.
Nehmen wir mal x (Höhe des Rechtecks) als vorraus gesetzt an.
Welchen Wert nimmt dann y an ?
Klar ist :
x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=gesammte Länge der Seite
[mm] x=h_c \Rightarrow [/mm] y=0
Doch was gilt für x=t*h ? ( [mm] t\in[0;1] [/mm] )
Dabei helfen dann doch die Strahlensätze.
Was passiert, wenn das Rechteck auf ein der beiden anderen Seiten liegt ?
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
also eine Formel wäre A=x*y [mm] \Rightarrow y=\bruch{A}{x}
[/mm]
den Zusammenhang für die Zweite habe ich anhand der Strahlensätze und einfacher bekannter Variablen so ermittelt
[mm] \bruch{h_{c}-x}{y}=\bruch{h_{c}}{c}
[/mm]
Das ergibt etwa [mm] c(h_{c}-x)-y*h_{c}=0
[/mm]
daraus hab ich [mm] -cx²+ch_{c}x-Ah_{c}=0 [/mm] gemacht.
Da sind jetzt beide Formeln drin. bin ich auf dem richtigen Weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Di 11.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja, die richtige Anwendung des Strahlensatzes hast du, aber danach bist du ungeschickt vorgegangen. Du willst ja A maximal machen, deshalb solltest du A nicht um formen.
A=x*y jetzt aus dem Strahlensatz y durch x oder x durch y ausdrücken und in A einsetzen. dann hängt A nur noch von x (und cUnd [mm] h_c [/mm] ) ab, und du kannst differenzieren. Dein Ergebnis hängt natürlich dann immer von c und [mm] h_c [/mm] ab.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke für den Tip
jetzt hab ich die Strahlenformel nach y aufgelöst
[mm] y=\bruch{c*(h_{c}-x)}{h_{c}}
[/mm]
das in die Formel A=x*y eingefügt ist
[mm] A=x*\bruch{c*(h_{c}-x)}{h_{c}}
[/mm]
ist das besser?
wie differenziere ich das jetzt, so dass es Sinn macht?
Ich weiss, ich stelle mich reichlich blöd an, aber was macht man nicht alles nebenberuflich mit 36Lenzen. Ich bitte das zu entschuldigen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 11.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Am einfachsten ists ohne differenzieren. da es ne Parabel ist mit leicht zu sehenden Nullstellen, ist der Scheitel genau in der Mitte.
sonst einfach ausmultiplizieren so das da steht [mm] y=ax^2+bx
[/mm]
dann differenzieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
ist es möglich, dass da [mm] y=cx²-ch_{c}x [/mm] rauskommt?
und [mm] y'=2cx-ch_{c} [/mm] ?
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Hallo,
[mm] A=x*\bruch{(h_c-x)*c}{h_c}
[/mm]
[mm] A=x*\bruch{h_c*c-x*c}{h_c}
[/mm]
[mm] A=x*c-\bruch{c}{h_c}*x^{2}
[/mm]
[mm] A=-\bruch{c}{h_c}*x^{2}+cx
[/mm]
du hast also eine nach unten geöffnete Parabel, über die Nullstellen ist die Stelle des Scheitelpunktes zu ermitteln,
Nullstellen:
[mm] 0=-\bruch{c}{h_c}*x^{2}+cx
[/mm]
[mm] 0=x(-\bruch{c}{h_c}*x+c)
[/mm]
1. Fall: x=0 somit [mm] x_1=0
[/mm]
2. Fall: [mm] -\bruch{c}{h_c}*x+c=0 [/mm] somit [mm] x_2=h_c
[/mm]
der Scheitelpunkt liegt somit an der Stelle [mm] x_S=\bruch{h_c}{2}
[/mm]
ebenso kannst du über die 1. Ableitung gehen, gleiches Ergebnis!
(du solltest beachten, beim Strahlensatz hast du ja mit c gerechnet, das entspricht der halben Basis deines Dreieckes)
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:05 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
Danke für deine Hilfe, aber anscheinend hab ich da und dort noch ein paar tiefe Bildungslücken.
Wie bist du von
> [mm]A=x*\bruch{h_c*c-x*c}{h_c}[/mm]
auf
> [mm]A=x*c-\bruch{c}{h_c}*x^{2}[/mm]
gekommen? das ist mir nicht ganz klar.
Auch dein Zusatz ist mir unklar.
> (du solltest beachten, beim Strahlensatz hast du ja mit c
> gerechnet, das entspricht der halben Basis deines
> Dreieckes)
Ich habe ja im Strahlensatz das ganze Y verarbeitet und da sollte auch das ganze c dazugehören und nicht nur das halbe. Habe ich da was falsch verstanden?
Rudi
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Hallo, fange ich mit dem 2. Teil an, du hast natürlich Recht, du hast die ganze Seite c vom Dreieck und die ganze Seite y vom Rechteck genommen, also Strahlensatz so ok (ich hatte [mm] \bruch{c}{2} [/mm] und [mm] \bruch{y}{2} [/mm] gerechnet, kürzt sich aber)
zum 1. Teil
[mm] A=x\bruch{h_c*c-x*c}{h_c}
[/mm]
[mm] A=x*(\bruch{h_c*c}{h_c}-\bruch{x*c}{h_c})
[/mm]
[mm] A=x(c-\bruch{x*c}{h_c})
[/mm]
[mm] A=x*c-\bruch{x*x*c}{h_c}
[/mm]
[mm] A=x*c-\bruch{x^{2}*c}{h_c}
[/mm]
[mm] A=c*x-\bruch{c}{h_c}x^{2}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Di 11.03.2008 | | Autor: | RudiBe |
so jetzt ist alles klar
ich hatte erst das x in den Rest hineinmultpliziert und da ein Fehler gemacht.
Danke und bis morgen, dann hab ich wieder eine (für mich) schwierige Aufgabe
Gruß Rudi
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