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| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hi,
hier mal mein Rechenweg:
[mm] L(x,y,z,t,\lambda) [/mm] = xyzt + [mm] \lambda(x+y+z+t-4c)
[/mm]
[mm] L_{x} [/mm] = yzt + [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{y} [/mm] = xzt + [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{z} [/mm] = xyt + [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{t} [/mm] = xyz + [mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] L_{\lambda} [/mm] = x + y + z + t -4c = 0
Aus den ersten 4 Gleichungen folgt x=y=z=t und aus der letzten damit:
4x = 4c => x=c=y=z=t
f(c,c,c,c) = [mm] c^{4}
[/mm]
Richtig soweit? Wie mache ich mir jetzt klar, dass an dieser Stelle wirklich ein Maximum vorliegt?
ciao, Simon.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo mikemodanoxxx,
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hi,
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> hier mal mein Rechenweg:
> [mm]L(x,y,z,t,\lambda)[/mm] = xyzt + [mm]\lambda(x+y+z+t-4c)[/mm]
>
> [mm]L_{x}[/mm] = yzt + [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]L_{y}[/mm] = xzt + [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]L_{z}[/mm] = xyt + [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]L_{t}[/mm] = xyz + [mm]\lambda[/mm] = 0
> [mm]L_{\lambda}[/mm] = x + y + z + t -4c = 0
>
> Aus den ersten 4 Gleichungen folgt x=y=z=t und aus der
> letzten damit:
> 4x = 4c => x=c=y=z=t
>
> f(c,c,c,c) = [mm]c^{4}[/mm]
>
> Richtig soweit? Wie mache ich mir jetzt klar, dass an
> dieser Stelle wirklich ein Maximum vorliegt?
Na ja, es gibt noch mehr Lösungen. Die von Dir genannte Lösung ist eine davon.
Wenn Du alles Lösungen betrachtest, und dann jeweils das genannte Produkt bildest,
stellst Du fest, daß das das Maximum unter der angegebenen Nebenbedingung ist.
>
> ciao, Simon.
Gruß
MathePower
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Hm und wie mache ich das? Ich meine ich habe ja jetzt ein Extremum gefunden und müsste noch irgendwie zeigen ob es Maximum oder Minimum ist.
Und zu der b) habe ich auch eine Frage. Man findet ja kein Minimum über die Aufgabe vorher. Aber ist nicht zb x=2c, y=c, z=c, t=0 ein Minimum? Es erfüllt die Bedingungen und das Produkt wäre 0.
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> Hm und wie mache ich das? Ich meine ich habe ja jetzt ein
> Extremum gefunden und müsste noch irgendwie zeigen ob es
> Maximum oder Minimum ist.
Hallo,
MahePower hatte Dir ja schon gesagt, daß Du nicht alle Lösungen des Gleichungssystems gefunden hast.
Es gibt da noch allerlei Punkte, für die das System =0 wird.
Ich weiß ja nicht, wie Du das Gleichungssystem gelöst hast, ich hatte z.B. so etwas dastehen:
0=zt(x-y).
Daraus folgt x=y oder t=0 oder z=0,
und alle drei Fälle wären zu untersuchen im weiteren Verlauf der Rechnung.
Damit bekommst Du dann die Fälle, für die der Funktionswert =0 ist.
Die Menge, auf der Du die Funktion untersuchen sollst, ist eine abgeschlossene und bschränkte Teilmenge des [mm] \IR^4, [/mm] nämlich der Schnitt des von [mm] \vektor{4c\\0\\0\\0}, \vektor{0\\4c\\\\0},\vektor{0\\0\\4c\\0}, \vektor{0\\0\\0\\4c} [/mm] aufgespannten "Würfels" (falls es für dieses Ding ein Wort gibt, fällt es mir gerade nicht ein) mit der 3-dimensionalen zu [mm] \vektor{1\\1\\1\\1} [/mm] senkrechten Hyperebene, also der Hyperebene durch die [mm] \vektor{4c\\0\\0\\0}, \vektor{0\\4c\\\\0},\vektor{0\\0\\4c\\0}, \vektor{0\\0\\0\\4c}.
[/mm]
Langer Rede kurzer Sinn: die zu betrachtende Menge ist kompakt.
Auf kompakten Mengen nehmen stetige Funktionen ihr Minimum und Maximum an.
Mathepower hat ja schon gesagt, daß Du nun die Funktionswert zu den kritischen Punkten ausrechnen und vergleichen sollst.
[mm] f(c,c,c,c)=c^4, [/mm] und die Funktionswerte an den anderen kritischen Punkten sind =0.
Also muß (c,c,c,c) die Stelle des Maximums sein.
> Und zu der b) habe ich auch eine Frage. Man findet ja kein
> Minimum über die Aufgabe vorher.
Doch.
Aber ist nicht zb x=2c,
> y=c, z=c, t=0 ein Minimum? Es erfüllt die Bedingungen und
> das Produkt wäre 0.
Ja.
Man kann sich das im Vierdimensionalen ja furchtbar schlecht vorstellen.
Ich habe die Aufgabe mal um eine Dimension abgespeckt und f(x,y,z)=xyz mit x+y+z=3c mit [mm] x,y,z\ge [/mm] 0 betrachtet.
Die Fläche ist das Dreiecks mit den Eckpunkten (3c / 0 / 0), (0 / 3c / 0), (0 / 0 / 3c) mit der Ebene durch diese Punkte.
Entlang der Ränder nimmt die Funktion den Wert 0 an, und [mm] f(c,c,c)=c^3.
[/mm]
Gruß v. Angela
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ok danke.
Ich hatte halt immer die Gleichungen nach Variablen aufgelöst und dann ineinander eingesetzt. Dann gekürzt und hatte sowas da stehen wie x=y. Habe halt hier nicht bedacht, dass ja ne Variable 0 sein könnte und man dann nicht durch sie teilen darf..
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