Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Di 11.11.2008 | | Autor: | Miss.Joy |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ein Halbkreis hat die Gleichung [mm] f(x)=\wurzel{r^2-x^2}. [/mm] In dem Halbkreis wird ein Rechteck eingeschrieben. Welche Koordinaten muss p1 haben damitdie Rechtecksfläche ein absolutes Maximum animmt. |
Ich komme einfach auf keinen Ansatz wie ich hier zu einem Ergebnis kommen soll. Schonmal vielen Dank fürs durchlesen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Di 11.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du die Zeichnung gemacht? der rechte untere Punkt des RE sei x1 wie lange ist dan das RE. wie hoch ist es, also die zweite Seite? Wie gross ist dann ausgedrueckt durch x1 der Flaecheninhalt A(x1) Wenn du das hast, wie findes du das max?
Gruss leduart
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[Pardon, meine Antwort hat länger gedauert als angekündigt, nicht weil sie so lang geworden ist, sondern weil ich zwischendurch telefoniert habe. Kann man irgendwie Verlängerung beantragen?]
Hallo und willkommen hier!
Das sollt Ihr mit Mitteln der 9.Klasse zeigen? Na dann...
Du nimmst einen Punkt (a,b) auf Deinem Halbkreis mit dem Radius r.
Für die Koordinaten des Punktes muss gelten: [mm] b=\wurzel{r^2-a^2} [/mm] (Definition Deines Halbkreises), oder einfacher und ganz nach Pythagoras (hier besser: nach Thales) [mm] a^2+b^2=r^2
[/mm]
Wenn Du einen Punkt auf dem Halbkreis hast, und wir ohne weiteres annehmen dürfen (und eigentlich noch nicht einmal müssen), dass a,b>0 sind, dann haben wir das Rechteck mit den Eckpunkten (a,b) (-a,b) (-a,0) (a,0)
Einverstanden?
Dieses Rechteck hat die Fläche 2ab.
Nun hast Du zwei Gleichungen für a und b; in einer kommt auch r vor, aber wenn das nicht als gegeben vorausgesetzt werden darf, ist die Aufgabe nicht lösbar.
Die Gleichungen sind:
I ) [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2=r^2
[/mm]
II) 2ab=F
wobei F die Fläche des Rechtecks ist. Die willst Du so groß wie möglich haben.
Ich nehme an, Ihr hattet die p,q-Formel? Wenn nicht, dann lies trotzdem weiter, die Aufgabe ist auch mit wenig Probieren zu lösen.
Wenn Ihr aber eine Gleichung 2. Grades (also eine quadratische) schon lösen könnt, dann geht es vielleicht so weiter:
(aus II): [mm] b=\bruch{F}{2a} [/mm] (und für den Moment tun wir so, als wäre F eine feste Zahl)
(in I): [mm] a^2+(\bruch{F}{2a})^2=r^2
[/mm]
Das ist einfacher zu rechnen, wenn man ersetzt [mm] c=a^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow c+(\bruch{F^2}{4c})=r^2 [/mm] |*c
[mm] c^2+\bruch{F^2}{4}=c*r^2 |-c*r^2
[/mm]
[mm] c^2-c*r^2+F^2=0
[/mm]
Wenn Ihr die p,q-Formel schon hattet, kannst Du das nach [mm] c_{1,2} [/mm] auflösen. Dann musst Du erstens schauen, für welchen Fall [mm] (\pm) [/mm] Du ein positives c erhältst und für welches F es möglichst groß ist - und dann auch noch, ob die Lösung in der Probe gültig ist. Das größte c, das Du findest, ist laut der Ersetzung (siehe oben) aber [mm] c=a^2.
[/mm]
Das ist kein ganz "sauberer" Weg. Aber wirklich verlässlich kannst Du ihn in der Mittelstufe auch noch nicht lösen. Dazu brauchst Du Methoden, die Du erst kurz vor der Matura lernst (etwa in der 11. Klasse).
Darum geht auch eine andere Überlegung:
Das Rechteck ist symmetrisch zur y-Achse. Es reicht, den Viertelkreis im 1.Quadranten zu betrachten (x,y>0).
Solche "Extremwert"-Aufgaben haben fast immer einen besonderen Punkt als Lösung, also einen einfach zu beschreibenden. Auf einem Viertelkreis bietet sich da als erstes die Mitte an, also der Punkt bei 45°.
Da sind a,b und F wie folgt: [mm] a=b=\bruch{\wurzel{2}*r}{2}; F_{ganzes! Rechteck im Halbkreis}=2a*b={r^2}
[/mm]
Aber das ist ja noch eine Vermutung. Nehmen wir trotzdem a schonmal als gegeben.
Nun müsstest Du zeigen, dass für jedes [mm] \varepsilon [/mm] in einem sinnvoll begrenzten Bereich gilt:
[mm] 2(a+\varepsilon)*\wurzel{r^2-(a+\varepsilon)^2}<2a*\wurzel{r^2-a^2}
[/mm]
...und das ist leichter, als es aussieht. Es genügt, sich auf positive [mm] \varepsilon [/mm] zu beschränken (oder wahlweise auf negative), wenn man begründen kann, warum.
Das Ergebnis ist jedenfalls genau der Punkt P1 bei [mm] (\bruch{r}{\wurzel{2}}, \bruch{r}{\wurzel{2}}).
[/mm]
Nur: wer stellt denn solche Aufgaben für eine 9. Klasse? Schöne Grüße an Deinen Lehrer oder Deine Lehrerin!
...aber vor allem an Dich selbst. Viel Erfolg beim Durchackern und Nachrechnen. Die letzten Schritte fehlen noch - aber das schaffst Du bestimmt selbst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:07 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
Du kannst Deine Bearbeitungszeit verlängern, wenn Du unter dem Vorschaufenster auf einen der grauen Knöpfchen drückst:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
So spät noch telefonieren ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") 
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:12 Di 11.11.2008 | | Autor: | reverend |
Danke!
Das fand ich auch gerade als Nachricht vor, automatisch erstellt von matux.
Werde ich beim nächsten Mal beachten, in der Hoffnung allerdings, dass ein solches gar nicht vorkommt.
Wie Ihr ohne Zweifel bemerkt habe, bin ich noch nicht lange hier dabei. Gerade deshalb finde ich jeden Hinweis zur Bedienung oder zur Forums-Etikette hilfreich. Fragen (z.B. zu einer Smiley-Auflistung) hätte ich auch schon, will aber nicht diesen fremden thread damit befrachten.
Nochmals Dank also, und bis bald.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:03 Di 11.11.2008 | | Autor: | Miss.Joy |
Erstmal, vielen Dank für die Antwort, ich denke damit bin ich in der Lage das Ganze zu lösen. Ich weis nicht wo, ich das eingetragen habe, aber eig. besuche ich die 12 Klasse, tut mir wirklich leidt.
lg Joy
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Di 11.11.2008 | | Autor: | reverend |
Das steht als Selbstauskunft zu Deinem user account da. Mathematischer Hintergrund: Klasse 9 Gymnasium
Aber vielleicht ist das ja genau wie bei mir, ich bin auch kein Mathestudent im Grundstudium mehr. War ich aber mal. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Di 11.11.2008 | | Autor: | Miss.Joy |
Achso, ja das stimmt, dass ist natürlich ein Fehler. Ich wollte mich aber noch mal bedanken, da ich es Mithilfe des Postes, geschafft habe, dass nachzuvollziehen und zu errechnen.
Vielen Dank lg Joy
PS: Auf meine andere Frage antwortet Niemand:(
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