Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Sa 10.01.2009 | | Autor: | mitex |
| Aufgabe | Beim Transport ist eine rechteckige Glasscheibe beschädigt worden. Zufälligerweise ist die Ecke gerade abgebrochen. Der Glaser möchte deshalb den Rest noch weiter verwerten. Er überlegt, welches rechteckige Stück er jetzt noch gebrauchen kann. Die Originalscheibe war 130 cm lang und 84 cm breit. Von der Längsseite sind 30 cm und von der Breitseite 24 cm abgebrochen.
Welches zugeschnittene Stück hat den größten Flächeninhalt?
(Hinweis: Rechnen Sie mit der Ähnlichkeit von Dreiecken beim Ansatz der Nebenbedingung). |
Grüß euch,
Ich nehme an, man sollte hier mit einem Strahlensatz arbeiten. Nachdem ich mir eine Skizze gemacht habe, sehe ich nur ein Dreieck, und zwar das abgebrochene (a: 30 cm, b: 24 cm).
Kann mir bitte jemand einen Anstoß geben.
mitex
PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Sa 10.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Beim Transport ist eine rechteckige Glasscheibe beschädigt
> worden. Zufälligerweise ist die Ecke gerade abgebrochen.
> Der Glaser möchte deshalb den Rest noch weiter verwerten.
> Er überlegt, welches rechteckige Stück er jetzt noch
> gebrauchen kann. Die Originalscheibe war 130 cm lang und 84
> cm breit. Von der Längsseite sind 30 cm und von der
> Breitseite 24 cm abgebrochen.
> Welches zugeschnittene Stück hat den größten
> Flächeninhalt?
> (Hinweis: Rechnen Sie mit der Ähnlichkeit von Dreiecken
> beim Ansatz der Nebenbedingung).
> Grüß euch,
>
>
> Ich nehme an, man sollte hier mit einem Strahlensatz
> arbeiten. Nachdem ich mir eine Skizze gemacht habe, sehe
> ich nur ein Dreieck, und zwar das abgebrochene (a: 30 cm,
> b: 24 cm).
Hallo,
wenn man die Begrenzungslinien der kleineren rechteckig auszuschneidenden "Restscheibe" in das abgebrochene Dreieck hinein verlängert,, wird dieses Bruchdreieck zerlegt in ein ganz kleines Rechteck und zwei kleine ähnliche Dreiecke.
Übrigens musst du dem gegebenen Hinweis nicht unbedingt folgen. Du kannst auch die Glasscheibe in ein Koordinatensystem (an beide Achsen angrenzend) legen und die Bruchlinie als schneidende Gerade einführen.
Gruß Abakus
>
> Kann mir bitte jemand einen Anstoß geben.
>
> mitex
>
>
> PS: Habe diese Frage in keinem anderen Internetforum
> gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Sa 10.01.2009 | | Autor: | mitex |
Grüß dich Abakus,
habe das mit dem Koordinatensystem versucht, 130 auf der x-Achse und 84 auf der y-Achse, die schneidende "Gerade" hat eine Steigung von [mm] -\bruch{5}{4}x, [/mm] weiß aber jetzt nicht wie es weiter geht.
mitex
|
|
|
| |
|
Hallo mitex,
ich finde wie abakus, dass man dem Tipp eher nicht folgen sollte.
Wenn Du die rechteckige Scheibe im Koordinatensystem positionierst, dann füllt sie erst einmal die Fläche [mm] 0\le x\le130, 0\le y\le84.
[/mm]
Dann wird eine der vier Ecken abgebrochen. Das kann zwar wirklich jede beliebige sein, aber wenn Du es ausprobierst, ist die Rechnung am einfachsten, wenn Du annimmst, dass die rechte obere Ecke nun fehlt und mit ihr der Punkt (130,84).
Die Bruchgerade geht dann durch die Punkte (100,84) und (130,60). Das genügt, um die Gerade eindeutig zu bestimmen: [mm] y=-\bruch{4}{5}x+164
[/mm]
Nun wird in der Aufgabe vorausgesetzt, dass das neue Rechteck parallel zum alten liegt, ohne dass das benannt wird. Nur so ist die Rechnung leicht anzusetzen. Jeder Punkt auf der Bruchkante definiert dann (zusammen mit dem Ursprung, also der Ecke diagonal gegenüber) eindeutig ein neues Rechteck.
Es sei in x-Richtung [mm] x_0 [/mm] lang, dann ist es in y-Richtung [mm] -\bruch{4}{5}x_0+164 [/mm] breit. Seine Fläche beträgt also:
[mm] A(x_0)=-\bruch{4}{5}x_0^2+164x_0
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] darf dabei nur aus [100,130] stammen!
Das ist nun eine eher einfache Extremwertaufgabe.
Wie würdest Du sie lösen?
lg,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 So 11.01.2009 | | Autor: | mitex |
Danke reverend, muss deine Meinung der eher einfacheren Extremwertaufgabe auf jeden Fall bestätigen, ich kann mich leider Gottes irrsinnig "anstellen".
Also:
y=kx+d
P(100/84)und P(100/60) ergibt:
[mm]y=-\bruch{4}{5}x+164[/mm]
[mm]A(x_0)=-\bruch{4}{5}x_0^2+164x_0[/mm]
[mm]A'(x_0)=-\bruch{8}{5}x+164=0[/mm]
[mm]x=102,5 cm[/mm]
[mm]y=-\bruch{4}{5}*102,5+164=82 cm[/mm]
lg, mitex
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 So 11.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo mitex,
das habe ich auch raus.
Schwierig bei dieser Aufgabe ist doch nur der Ansatz. Wenn man den einmal hat, flutscht der Rest ja.
Jetzt frage ich mich nur noch, ob ein schräg eingepasstes Rechteck nicht größer sein könnte. Vermutlich nicht, aber es wäre zumindest interessant, das nachzuweisen. Wahrscheinlich ginge das am besten mit Vektoralgebra.
Ich hefte das mal im Hinterkopf ab. Irgendwann, auf einer langweiligen Zugfahrt...
lg,
reverend
|
|
|
|
