Extremwertaufgabe < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Volcano |
| Aufgabe | Eine Fabrik stellt Blechgefäße vom Rauminhalt 15 l her, welche die Gestalt
eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel auf einer Seite haben.
Bei welchen Ausmaßen ist der Materialverbrauch am kleinsten? |
Hallo,
Ich habe mich entschlossen das Abitur nachzuholen. Ich konnte mich bis jetzt sehr gut durchbeissen und mir einiges wieder aneignen aus meinen 10 Schuljahren. Nun bin ich mit meinem Latein am Ende.Ich schaffe es nicht die obige Aufgabe zu lösen da ich mit dem Umformen und Vereinfachen an meine Grenzen stoße. Bis jetzt habe ich folgendes getan:
Nebenbedingung Volumen
[mm]V=\pi r^2h+\bruch{2}{3}\pi r^3=[/mm] umgestellt nach h
[mm]h=\bruch{V}{\pi r^2}-\bruch{2}{3} \pi r^3[/mm]
Hauptbedingung Oberfläche
[mm]O=2\pi rh+2\pi r^2[/mm]
V in O einsetzen
[mm]2\pi r\left( \bruch{V}{\pi r^2}- \bruch{2}{3}\pi r^3 \right)[/mm]
Vereinfachen
[mm]\bruch{2V\pi r}{\pi r^2}-\bruch{4}{3}\pi^2r^4+2\pi r^2 [/mm]
Und hier hörts auf....weiter krieg ich das nich.
Wer super wenn einer von euch mir weitere Tipps geben kann.
Gruß Maik
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo volcano und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Eine Fabrik stellt Blechgefäße vom Rauminhalt 15 l her,
> welche die Gestalt
> eines Zylinders mit einer aufgesetzten Halbkugel auf einer
> Seite haben.
> Bei welchen Ausmaßen ist der Materialverbrauch am
> kleinsten?
> Nebenbedingung Volumen
> [mm]V=\pi r^2h+\bruch{2}{3}\pi r^3=[/mm] umgestellt nach h
> [mm]h=\bruch{V}{\pi r^2}-\bruch{2}{3} \pi r^3[/mm]
hier hast du falsch nach h aufgelöst! du hast beim dividieren durch [mm] \pi/r^2 [/mm] nur einen Term dividiert!
[mm] h*\pi/r^2=V-\bruch{2}{3} \pi r^3
[/mm]
jetzt die ganze rechte seite durch [mm] \pi/r^2 [/mm] dividieren , nicht nur V!
der Rest ist dann falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Volcano |
ok.
dann ist [mm]h=\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}[/mm]
eingesetzt
[mm]O=2\pi r\left(\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}\right)+2\pi r^2[/mm]
Vereinfacht
[mm]\bruch{2V\pi r-\bruch{4}{3}\pi^2r4}{\pi r^2}+2\pi r^2[/mm]
ich würde nun das [mm] $\pi [/mm] r$ das ich unten in klammern gesetzt hab rauskürzen
[mm]\bruch{2V(\pi r)-\bruch{4}{3}\pi^2r4}{(\pi r)^2}+2\pi r^2[/mm]
daraus ergibt sich
[mm] $\bruch{2V-\bruch{4}{3} \pi^2 r^4}{r} +2\pi r^2$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:37 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
>
> dann ist [mm]h=\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}[/mm]
am besten gleich kürzen:
h= [mm] \bruch{V}{\pi r^2}--\bruch{2}{3}*r [/mm]
> eingesetzt
> [mm]O=2\pi r\left(\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}\right)+2\pi r^2[/mm]
kürze hier direkt die [mm] 2\pi [/mm] und ein r, dann schreib das ganze in 3 Summanden.
> Vereinfacht
leider verkompliziert
> [mm]\bruch{2V\pi r-\bruch{4}{3}\pi^2r4}{\pi r^2}+2\pi r^2[/mm]
> ich
> würde nun das [mm]\pi r[/mm] das ich unten in klammern gesetzt hab
> rauskürzen
wie kommst du von [mm] \pi*r^2 [/mm] zu [mm] (\pi*r)^2=\pi^2*r^2?
[/mm]
> [mm]\bruch{2V(\pi r)-\bruch{4}{3}\pi^2r4}{(\pi r)^2}+2\pi r^2[/mm]
falsch
> daraus ergibt sich
auch nicht folgerichtig.
du musst darauf achten, beim dividieren wirklich immer alle summanden zu dividieren, (der Bruchstrich ersetzt eine Klammer!)
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Volcano |
> > dann ist [mm]h=\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}[/mm]
> am
> besten gleich kürzen:
> h= [mm]\bruch{V}{\pi r^2}--\bruch{2}{3}*r[/mm]
wieso kann ich an der stelle das [mm] $\pi r^3$ [/mm] rauskürzen? das sind solche stellen wo ich große lücken habe und nicht richtig weiterkomme.
> >
> $ [mm] O=2\pi r\left(\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}\right)+2\pi r^2 [/mm] $
> kürze hier direkt die [mm]2\pi[/mm] und ein r, dann schreib das
> ganze in 3 Summanden.
[mm]O=\bruch{V}{r^2}-\bruch{-\bruch{2}{3}r^2}{r^2}\right)+2\pi r^2[/mm] so?
kann ich das noch weiter vereinfachen? indem ich [mm] $*r^2$ [/mm] rechne so das unter beiden bruchstrichen das [mm] $r^2$ [/mm] verschwindet?
> > ich würde nun das [mm]\pi r[/mm] das ich unten in klammern gesetzt hab
> > rauskürzen
> wie kommst du von [mm]\pi*r^2[/mm] zu [mm](\pi*r)^2=\pi^2*r^2?[/mm]
> > [mm]\bruch{2V(\pi r)-\bruch{4}{3}\pi^2r4}{(\pi r)^2}+2\pi r^2[/mm]
Hier hatte ich lediglich versucht meine gedanken wie ich weitermachen würde zum ausdruck zu bringen......hat der übersichtlichkeit leider nicht geholfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:12 Mi 23.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
>
> > > dann ist [mm]h=\bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}[/mm]
> >
> am
> > besten gleich kürzen:
> > h= [mm]\bruch{V}{\pi r^2}--\bruch{2}{3}*r[/mm]
>
> wieso kann ich an der stelle das [mm]\pi r^3[/mm] rauskürzen? das
> sind solche stellen wo ich große lücken habe und nicht
> richtig weiterkomme.
du hast [mm] bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}=bruch{V}{\pi r^2}-\bruch{\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi*r^2}
[/mm]
im zweiten Bruch steht doch oben und unten [mm] \pi [/mm] und oben [mm] r^2*r [/mm] unten [mm] r^2 [/mm] also kannst du kürzen.
jeden Bruch [mm] \bruch{a+b}{c}=\bruch{a}{c}+\bruch{b}{c}
[/mm]
kann man so umschreiben.
> [mm]O=\bruch{V}{r^2}-\bruch{-\bruch{2}{3}r^2}{r^2}\right)+2\pi r^2[/mm]
> so?
leider nein!
[mm] O=\bruch{V}{r}-\bruch{4}{3}*\pi*r^2+2*\pi*r^2
[/mm]
Versuch das nochmal !
> Hier hatte ich lediglich versucht meine gedanken wie ich
> weitermachen würde zum ausdruck zu bringen......hat der
> übersichtlichkeit leider nicht geholfen
"gedanken" kann man mit
$ [mm] \pi\cdot{}r^2 [/mm] $ zu $ [mm] (\pi\cdot{}r)^2=\pi^2\cdot{}r^2? [/mm] $
sicher nicht beschreiben.
eine Gleichung muss einfach stimmen! sie ist nicht dazu da Gedanken auszudrücken ausser eben dass links und rechts dasselbe steht!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Mi 23.11.2011 | | Autor: | Volcano |
Hi,
> du hast [mm]bruch{V-\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi r^2}=bruch{V}{\pi r^2}-\bruch{\bruch{2}{3}\pi r^3}{\pi*r^2}[/mm]
>
> im zweiten Bruch steht doch oben und unten [mm]\pi[/mm] und oben
> [mm]r^2*r[/mm] unten [mm]r^2[/mm] also kannst du kürzen.
> jeden Bruch [mm]\bruch{a+b}{c}=\bruch{a}{c}+\bruch{b}{c}[/mm]
> kann man so umschreiben.
danke. sehr gut erklärt.
> [mm]O=\bruch{V}{r}-\bruch{4}{3}*\pi*r^2+2*\pi*r^2[/mm]
> Versuch das nochmal !
[mm] $o=2\pi r\left(\bruch{V}{\pi r^2}-\bruch{2}{3}r\right)+2\pi r^2$
[/mm]
Klammerauflösen
im Bruch [mm] $\bruch{V}{\pi r^2}$ [/mm] kürzt sich das [mm] $\pi r^2$ [/mm] ein zu r dadurch entsteht [mm] $\bruch{V}{r}$.
[/mm]
[mm] $-\bruch{2}{3}*2 [/mm] ergibt [mm] $-\bruch{4}{3}$.
[/mm]
das r wird durchs klammerauflösen erweitert zu [mm] $\pi r^2$.
[/mm]
das ganze zusammen ergibt dann:
[mm]O=\bruch{V}{r}-\bruch{4}{3}*\pi*r^2+2*\pi*r^2[/mm]
das kann man weiter einkürzen zu
[mm] $o=\bruch{V}{r}+\bruch{2}{3}\pi r^2
[/mm]
für mich ist für heute schluß. Ich werde die aufgabe morgen weiterbearbeiten.
Vielen Dank für die bisherige Hilfe.
Gruß Maik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Do 24.11.2011 | | Autor: | Volcano |
Guten Abend,
ich habe nun weitergemacht und es stockt schon wieder.
[mm] $o=\bruch{V}{r}+\bruch{2}{3}\pi r^2 [/mm] $
hier habe ich die erste und zweite ableitung gebildet
[mm] $O'=\bruch{V}{r^2}+\bruch{4}{3}\pi [/mm] r$
[mm] $O''=\bruch{2V}{r^3}+\bruch\{4}{3}\pi$
[/mm]
Die erste Ableitung 0 gesetzt und begonnen mit dem umstellen.
[mm] $0=\bruch{V}{r^2}+\bruch{4}{3}\pi [/mm] r$ [mm] |*r^2
[/mm]
[mm] $0=V+\bruch{4}{3}\pi r^3$ [/mm] |-V
[mm] $-V=\bruch{4}{3}\pi r^3$ [/mm] |: [mm] $\bruch{4}{3}\pi$
[/mm]
[mm] $\bruch{-V}{\bruch{4}{3}\pi}=r^3 [/mm] | [mm] \wurzel[3]
[/mm]
[mm] $\wurzel[3]{\bruch{-V}{\bruch{4}{3}\pi} } [/mm] =r$
wo liegt der Fehler? wenn ich für V =15 einsetze bekomme ich -3,28 raus.
Gruß Maik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:52 Do 24.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Guten Abend,
>
> ich habe nun weitergemacht und es stockt schon wieder.
>
> [mm]o=\bruch{V}{r}+\bruch{2}{3}\pi r^2[/mm]
>
> hier habe ich die erste und zweite ableitung gebildet
>
> [mm]O'=\bruch{V}{r^2}+\bruch{4}{3}\pi r[/mm]
>
> [mm]O''=\bruch{2V}{r^3}+\bruch\{4}{3}\pi[/mm]
>
> Die erste Ableitung 0 gesetzt und begonnen mit dem
> umstellen.
>
> [mm]0=\bruch{V}{r^2}+\bruch{4}{3}\pi r[/mm] [mm]|*r^2[/mm]
> [mm]0=V+\bruch{4}{3}\pi r^3[/mm] |-V
> [mm]-V=\bruch{4}{3}\pi r^3[/mm] |: [mm]\bruch{4}{3}\pi[/mm]
> [mm]$\bruch{-V}{\bruch{4}{3}\pi}=r^3[/mm] | [mm]\wurzel[3][/mm]
> [mm]\wurzel[3]{\bruch{-V}{\bruch{4}{3}\pi} } =r[/mm]
>
> wo liegt der Fehler? wenn ich für V =15 einsetze bekomme
> ich -3,28 raus.
>
> Gruß Maik
Hallo,
die Ableitung von [mm] \bruch{V}{r} [/mm] ist nicht [mm] \bruch{V}{r^2}, [/mm] sondern
[mm] \bruch{-V}{r^2}.
[/mm]
[mm] (r^{-1} [/mm] hat die Ableitung [mm] (-1)*r^{-2}).
[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Do 24.11.2011 | | Autor: | Volcano |
Hallo,
danke für die Hilfe ich denke diese Aufgabe kriege ich nun fertig. Und hab gleich noch eine 2. um das erlernte zu vertiefen :)
Gruß Maik
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