Extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 Di 26.11.2013 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Aufgabe:
Bestimmen Sie die Extrema der Funktion [mm] f(x,y)=xy^2 [/mm] auf der Einheitskreislinie [mm] x^2+y^2=1. [/mm] Ohne Lagrangeschen Multiplikationsregel |
Hallo,
ich muss diese Aufgabe loesen, aber weiss ich es nicht wie.
Ich habe es so gemacht:
f(x,y) = [mm] xy^2
[/mm]
[mm] x^2+y^2-1=0 [/mm] <=> [mm] y^2=1-x^2
[/mm]
in f(x,y) einsetzen:
f(x,y) = [mm] x(1-x^2) [/mm] = [mm] x-x^3 [/mm]
[mm] (-1\le [/mm] x [mm] \le1)
[/mm]
Diese Funktion hängt nur noch von einer Veränderlichen ab.
also
f'(x) = [mm] 1-3x^2
[/mm]
f''(x) = -6x
Erste Ableutung muss null sein:
[mm] 1-3x^2=0
[/mm]
[mm] 3x^2=1
[/mm]
[mm] x=\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{3}}
[/mm]
[mm] f''(\wurzel[2]{\bruch{1}{3}})= [/mm] -6 * [mm] \wurzel[2]{\bruch{1}{3}} [/mm] <0 => Maxima
[mm] f''(-\wurzel[2]{\bruch{1}{3}})= [/mm] -6 * [mm] (-\wurzel[2]{\bruch{1}{3}})>0 [/mm] => Minima
Ist es korrekt?
Ich muss noch das Extremverhalten von f(x,y) = [mm] x-x^3 [/mm] in den Randpunkten untersuchen, aber wie mache ich das??
Danke im Voraus
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Hallo,
> Aufgabe:
> Bestimmen Sie die Extrema der Funktion [mm]f(x,y)=xy^2[/mm] auf der
> Einheitskreislinie [mm]x^2+y^2=1.[/mm] Ohne Lagrangeschen
> Multiplikationsregel
> Hallo,
> ich muss diese Aufgabe loesen, aber weiss ich es nicht
> wie.
>
> Ich habe es so gemacht:
>
> f(x,y) = [mm]xy^2[/mm]
> [mm]x^2+y^2-1=0[/mm] <=> [mm]y^2=1-x^2[/mm]
>
> in f(x,y) einsetzen:
>
> f(x,y) = [mm]x(1-x^2)[/mm] = [mm]x-x^3[/mm]
> [mm](-1\le[/mm] x [mm]\le1)[/mm]
>
> Diese Funktion hängt nur noch von einer Veränderlichen
> ab.
>
> also
> f'(x) = [mm]1-3x^2[/mm]
> f''(x) = -6x
>
> Erste Ableutung muss null sein:
> [mm]1-3x^2=0[/mm]
> [mm]3x^2=1[/mm]
> [mm]x=\pm\wurzel[2]{\bruch{1}{3}}[/mm]
>
> [mm]f''(\wurzel[2]{\bruch{1}{3}})=[/mm] -6 *
> [mm]\wurzel[2]{\bruch{1}{3}}[/mm] <0 => Maxima
> [mm]f''(-\wurzel[2]{\bruch{1}{3}})=[/mm] -6 *
> [mm](-\wurzel[2]{\bruch{1}{3}})>0[/mm] => Minima
>
> Ist es korrekt?
Alles korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich muss noch das Extremverhalten von f(x,y) = [mm]x-x^3[/mm] in den
> Randpunkten untersuchen, aber wie mache ich das??
Na ja. [mm] x^2+y^2=1 [/mm] ist ein Kreis um den Ursprung der xy-Ebene mit dem Radius r=1. Von daher sollte es klar sein, um welche beiden x-Werte es geht. Diese sollten gerade eben noch mit Ach und Krach auf dem Kreis liegen. 
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 26.11.2013 | | Autor: | Melisa |
Danke Diophant fuer Deine Antwort,
aber irgendwie verstehe ich net was ich mit Randpunktenmachensoll:(. Kannst Du mir bitte erklaeren?? :)
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Hallo,
> Danke Diophant fuer Deine Antwort,
> aber irgendwie verstehe ich net was ich mit
> Randpunktenmachensoll:(. Kannst Du mir bitte erklaeren?? :)
Der Definitionsbereich der Funktion f(x) ist in diesem Fall das Intervall [-1;1] (mache dir klar, weshalb!!!). Und da wird es Randextrema geben, das muss man halt zeigen. Es ist Schulstoff. Begründe, dass es an beiden Stellen einen Funktionswert geben muss und untersuche die 1. Ableitung in einer einseitigen Umgebung um den Randpunkt.
Gruß, Diophant
PS: ich finde Formulierungen wie aber irgendwie verstehe ich net was ich mit Randpunktenmachensoll als jemand, der ja hier helfen will, nicht hilfreich (eher das Gegenteil...). Man muss in der Mathematik auch lernen, konkrete Fragen zu stellen, also bspw. was genau du da nicht verstehst. Das ist vielleicht die wichtigste meta-mathematische Fähiglkeit überhaupt.
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