Extremwertaufgabe/2 Variable/ lösen von LGS < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:18 Sa 28.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
Hallo Zusammen!
Ich habe schon wieder ein Problem. Es liegt nicht daran, dass ich nicht weiß wie ich die Aufgabe lösen soll, sondern an der Rechentechnick.
Zur Aufgabe:
Gegeben ist die Produktionsfunktion
[mm] x (r_1, r_2) = 40 r_1 ^{0,5} r_2 ^{0,4} [/mm]
mit x produzierter Menge in ME und den 2 Produktionsfaktoren [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] in ME.
Das Produkt kann für einen Preis von p = 2 pro Stück abgesetzt werden.
Die Preise für die Produktionsfaktoren betragen [mm] k_1 [/mm] = 20 für eine ME von [mm] r_1 [/mm] und [mm] k_2 [/mm] = 32 für eine ME von [mm] r_2.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Gewinnfunktion G [mm] (r_1, r_2).
[/mm]
b) Berechnen Sie, wieviel Mengeneinheiten von den beiden Produktionsfaktoren eingesetzt werden müssen, um das Gewinnmaximum zu erzielen (notwendige und hinreichende Bedingung) und geben Sie den zugehörigen Gewinn an.
Lösungsvorschlag zu a) :
Umsat = Preis * Menge = [mm] 2* (40r_1^{0,5} * r_2^{0,4}) [/mm]
Umsatz - Kosten = Gewinn
Kosten= [mm] 20 r_1 + 32 r_2 [/mm]
Gewinn= [mm] 80r_1^{0,5}*r_2^{0,4} - 20 r_1-32 r_2 [/mm]
Ist glaube es ist so richtig.
Lösungsvorschlag zu b) :
Notwendige Bed.: [mm] G'r_1=0 \wedge\ G'r_2 = 0 [/mm]
Hinreichende Bed.:
[mm] G''r_1 r_1 * G''r_2 r_2 > G''\ ^2 \ r_1 r_2 [/mm]
zur Notwendigen Bed.:
[mm] G'r_1= 40r_1^{-0,5}r_2^{0,4}-20\quad
G'r_2= 32r_1^{0,5}r_2^{-0,6}-32 [/mm]
Dies stellt ja ein LGS (lineares Gleichungssystem) dar, dass ich aber nicht lösen kann.
[mm] G' r_1\ $habe ich mit$\ * r_1^{0,5}\ $ multipiziert und$\ 40r_2^{0,4}-20r_1^{0,5} [/mm] erhalten.
[mm] G'r_2\ $ habe ich mit$\ * r_2^{0,6}\ $multipliziert und$\ 32r_1^{0,5}-32r_2^{0,6} [/mm] erhalten.
Ich weiß nicht wie ich das LGS lösen kann. Es fehlt mir an Rechentechnick.
Probleme habe ich bei dem [mm] r_2 [/mm] mit den Exponenten.
Ich bin gerade in den Prüfungsvorbereitungen und habe mich gestern den ganzen Tag damit befast und auch ein Mathebuch zu Rate gezogen, werde aber nicht schlau daraus.
Das Probelm ist, ich muss das am 20.09.04 in der Klausur beherschen sonst kann ich Mathe noch mal wiederholen. In den Vorlesungen paßte alles viel besser zusammen, die Aufgaben konnte ich fast alle rechnen.
Mit diesen gebrochenen Exponenten habe ich aber Probleme.
hoffentlich kann mir jemand helfen
Küstengrüße
J.-P.
PS: Ich habe die Fälligkeit auf 1 Stunde gestell, weil ich die Aufgabe 2 x gepostet habe und die doppelte Aufgabe, so hoffe ich, aus dem Strag schneller verschwindet. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") Ich dreh ab!!! Jetzt fehlt in der Kopie die Formel, deshalb habe ich die Frage nun auf unbefristet gesetzt.
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:37 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Grüß dich Jan!
Stelle doch mal beide Gleichung so um, dass rechts die Konstante (20 bzw. 32) steht und links das Produkt. Dann kannst du beide Gleichungen multiplizieren und [mm] $r_1$ [/mm] wird wegfallen.
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Sa 28.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
Danke mOOxi!
Ich werde es mal versuchen und mich mit der Lösung, falls ich es schaffe, wiedermelden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 28.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
So mal schauen,
I: [mm] 40r_1^{-0,5}r_2^{o,4}=20[/mm]
II:[mm] 32r_1^{0,5}r_2^{-0,6}=32[/mm]
I * II = [mm] 40r_1^{0,5}*r_2^{0,4}*32r_1^{0,5}*r_2^{-0,6}=640[/mm]
[mm]1280r_1^0*r_2^{-0,2}=640[/mm] /: 1280
[mm] r_2^{-0,2}=0,5[/mm] /^-5
[mm] r_2 [/mm] = 32
Ist das richtig??
Das Ergebniss muss ich doch jetzt in [mm] f''(r_2)>0[/mm] einsetzten um zu prüfen, ob für [mm] r_2=32 [/mm] dieses zutrifft. Richtig????
Dann ist [mm] r_1 [/mm] = 64
Ich bin so durcheinander.
Hier kann ich jetzt die beiden Werte einsetzten oder?
[mm] G'' r_1= -20r_1^{-1,5}*r_2^{0,4}=0[/mm]
[mm] G'' r_2= -19,2r_2^{-1,6}*r_1^{0,5}=0[/mm]
[mm] G''r_1*G''r_2>G''\ ^2[/mm]
Ich werde noch Experte für die Formelschreibweise [ ]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Sa 28.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Jan.
Also meines Erachtens müssten die Zahlenwerte korrekt sein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Gruß,
Hanno
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 28.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
Danke nochmal Hanno!
Ich versuch die Aufgabe jetzt zuende zu rechnen.
Küstengrüße
J.-P.
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