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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Do 30.09.2010 | | Autor: | nlsn |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die globalen Extrema von
F(x,y) = [mm] exp(x^2+3x-y^2)
[/mm]
auf D = [mm] ({(x,y)\in \IR^2 : 1 \le x^2+y^2 \le 4}). [/mm] |
Ich habe zuerst die Funktion partiell nach allen Bestandteilen abgeleitet und als globale Extrema [mm] (-\bruch{3}{2},0) [/mm] erhalten.
Dann habe ich die Randbereiche des Definitionsbereichs mit [mm] x^2+y^2=1 [/mm] als inneren und [mm] x^2+y^2=4 [/mm] als äußeren Rand nach [mm] y^2 [/mm] umgestellt in die Ausgangsfunktion eingesetzt und nach x partiell abgeleitet.
Für den inneren kam nun [mm] (-\bruch{3}{4},\pm\bruch{\wurzel{7}}{4}) [/mm] und für den äußeren Rand [mm] (-\bruch{3}{4},\pm\bruch{\wurzel{55}}{4}) [/mm] als mögliche globale Extremwerte auf dem Definitionsbereich herraus.
In der rausgegebenen Lösung sind allerdings noch [mm] (0,\pm1) [/mm] und [mm] (\pm1,0) [/mm] als mögliche Extremwerte auf dem innneren Rand zum Überprüfen. Auf dem äußeren dann mit der 2.
Bei der Funktion scheint es manchen einzuleuten, aber weshalb nimmt man die Achsenwerte zum Überprüfen und wie kommt man drauf, wenn so eine Aufgabe bei einem anderen Körper durchführen sollte und die Extremwerte nicht auf den Achsen liegen muss es doch da eine nachvollziehbare Herrangehensweise geben.
Vielen Dank für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie die globalen Extrema von
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> F(x,y) = [mm]exp(x^2+3x-y^2)[/mm]
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> auf D = [mm]({(x,y)\in \IR^2 : 1 \le x^2+y^2 \le 4}).[/mm]
> Ich habe
> zuerst die Funktion partiell nach allen Bestandteilen
> abgeleitet und als globale Extrema [mm](-\bruch{3}{2},0)[/mm]
> erhalten.
> Dann habe ich die Randbereiche des Definitionsbereichs mit
> [mm]x^2+y^2=1[/mm] als inneren und [mm]x^2+y^2=4[/mm] als äußeren Rand nach
> [mm]y^2[/mm] umgestellt in die Ausgangsfunktion eingesetzt und nach
> x partiell abgeleitet.
> Für den inneren kam nun
> [mm](-\bruch{3}{4},\pm\bruch{\wurzel{7}}{4})[/mm] und für den
> äußeren Rand [mm](-\bruch{3}{4},\pm\bruch{\wurzel{55}}{4})[/mm]
> als mögliche globale Extremwerte auf dem
> Definitionsbereich herraus.
>
> In der rausgegebenen Lösung sind allerdings noch [mm](0,\pm1)[/mm]
> und [mm](\pm1,0)[/mm] als mögliche Extremwerte auf dem innneren
> Rand zum Überprüfen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da Du Deine Rechnungen nicht mitpostest, kann man schlecht sehen, woran es liegt...
Ich vermute dies:
Du hattest die Gleichung [mm] -2ye^{...}+2y\lambda=0, [/mm]
und hast dann fröhlich durch 2y dividiert.
Wenn Du nicht wachsam bist, verlierst Du mit dieser Vorgehensweise mögliche Lösungen. Bedenke: Du darfst nur durch Zahlen dividieren, die [mm] \not=0 [/mm] sind. Du müßtest an dieser Stelle also notieren "für [mm] y\not=0" [/mm] und den Fall y=0 gesondert untersuchen.
Gruß v. Angela
> Auf dem äußeren dann mit der 2.
>
> Bei der Funktion scheint es manchen einzuleuten, aber
> weshalb nimmt man die Achsenwerte zum Überprüfen und wie
> kommt man drauf, wenn so eine Aufgabe bei einem anderen
> Körper durchführen sollte und die Extremwerte nicht auf
> den Achsen liegen muss es doch da eine nachvollziehbare
> Herrangehensweise geben.
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> Vielen Dank für eure Hilfe
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Do 30.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du F auf der Kreislinie [mm] x^2+y^2=1 [/mm] auf Extremwerte untersuchst, untersuchst Du die Funktion
[mm] $h(x)=exp(2x^2+3x-1)$
[/mm]
auf dem kompakten Intervall [-1, 1] auf Extremwerte. Also mußt Du die Randpunkte x= [mm] \pm1 [/mm] ebenfalls untersuchen.
FRED
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