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Forum "Extremwertprobleme" - Extremwertaufgabe "Maximal"
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Extremwertaufgabe "Maximal": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:09 Di 21.02.2006
Autor: Cara1988

Aufgabe
Aufgabe: Aus einer, die die Form eines gleichschenkligen Dreiecks mit den Seiten c= 60cm, a=b=50cm hat, soll ein möglichst großes, rechteckiges Brett herausgeschnitten werden. Wie viel Prozent Abfall entstehen?

Hallo,
genau bei solchen Anwendungsaufgaben habe ich meine Probleme. Meine Idee dazu war das ich genau so rangehe wie bei einer Kurvendiskussion, mit 1te Ableitung, Nullstellen, in 2te Ableitung einsetzten und lokale Maxima bzw. Minima bestimmen. Aber ich weiß nicht genau wie ich auf eine passende Gleichung komme und auf die Maximale Fläche?

Der Flächeninhalt von dem Rechteck ist (in meiner Rechung) A= d * e

Die längere Seite des Rechtecks könnte ich bestimmen mit d= 60-2x

Dann hab ich ie Höhe mit dem Pytagoras ausgerechnet h= 40cm

Und damit dann die kürzere Seite des Rechtecks bestimmt e= 40cm - y

Flächeninhalt gesamt dann A-Ges= (60-2x) * (40-y)

Jetzt könnte ich zwar nach einer Variablen auflösen, aber das bringt doch nicht wirklich viel? Kann man denn noch anders an die Aufgabe rangehen, vielleicht mit Strahlensätzen, was eine Mitschülerin gemeint hat???
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
LG Julia


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extremwertaufgabe "Maximal": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Di 21.02.2006
Autor: Astrid

Hallo cara,

du hast doch schon die richtigen Ansätze und Stichpunkte geliefert!

> Der Flächeninhalt von dem Rechteck ist (in meiner Rechung)
> A= d * e

[daumenhoch]
  
> Die längere Seite des Rechtecks könnte ich bestimmen mit d=
> 60-2x

[daumenhoch]

(wobei x gerade das ist, was links und rechts vom Rechteck von der Grundseite "übrig bleibt".:-))

Das heißt,

[mm]x=30-\bruch{d}{2}[/mm]

>  
> Dann hab ich ie Höhe mit dem Pytagoras ausgerechnet h=
> 40cm

[daumenhoch]

>  
> Und damit dann die kürzere Seite des Rechtecks bestimmt e=
> 40cm - y

Das brauchst du nicht. Aber:

> vielleicht mit
> Strahlensätzen, was eine Mitschülerin gemeint hat???

[zustimm]


Was gilt denn nach den Strahlensätzen?

Na, x verhält sich zu e genauso wie [mm] $\bruch{c}{2}$ [/mm] zu h, also:

[mm]\bruch{x}{e}=\bruch{\bruch{c}{2}}{h}[/mm]

also

[mm]\bruch{x}{e}=\bruch{c}{2h}[/mm]

Nun kannst du das nach $e$ umstellen, $x$ ersetzen durch [mm] $x=30-\bruch{d}{2}$ [/mm] und dann in die Gleichung

[mm] $A=d\cdot [/mm] e$

einsetzen.

Das ist nun eine Funktion von $d$ und du kannst entsprechend ein Maximum bestimmen. Klar?

Viele Grüße
Astrid


Bezug
        
Bezug
Extremwertaufgabe "Maximal": Vorschlag
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Di 21.02.2006
Autor: statler

Hallo Julia,

wenn du das Dreieck halbierst, hast du ein rechtw. Dreieck mit Kath. 30 und 40 und Hyp 50. Die fehlende Ecke deines Brettes liegt auf der Hyp. Wenn du die Seiten des (halben) Rechtecks jetzt x und y nennst und den einen Hyp-Abschnitt z, dann ist der andere Hyp-Abschnitt 50-z. Jetzt kannst du von den beiden Hyp-Enden aus den Strahlensatz anwenden und erhältst so etwas wie

x/30 = z/50
und
y/40 = (50-z)/50

Hier kannst du dann weiter z eliminieren, die Fläche ausrechnen, ableiten usw. usw.
(Mach ne Zeichnung, bitte.)

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

PS: Astrid hat mich zwischendurch überrundet!
Bezug
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