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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Alice_S |
| Aufgabe | | Gewisse handelsübliche Konservendosen haben 887 cm3 Inhalt. Wie groß sind der Radius und die Höhe der Dose zu wählen, damit der Materialverbrauch der Verpackung minimal wird? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin derzeit in einer Maturaklasse und mein Mathemathikprofessor hat mir diese Woche neun Aufgaben für mein Spezialgebiet gegeben, von welchen ich bisher keine einzige lösen konnte :(.
Nun glaube ich einen Lösungsansatz für diese Aufgabe gefunden zu haben und bitte um Kontrolle des Ansatzes:
Hauptbedingung:
Oberfläche = 2r²π + 2rπh
Nebenbedingung:
r²πh = 887 cm³
--> h = 887/r²πh
Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen:
O = 2r²π + 2rπ * 887/r²πh
--> Nun sollte ich die neu formulierte Hauptbedingung ableiten, das will mir jedoch nicht wirklich gelingen; trotzdem hier mein Versuch:
zur Erklärung meiner Vorgangsweise:
2rπ * 887/r²πh habe ich mit der Produktregel abgeleitet wobei ich für die Ableitung des Bruchs wiederum die Quotientenregel verwendet habe.
Ich bin zu diesem Ergebnis gekommen:
O' = 4rπ + 2*887/r²π + 2rπ * 887r²π - 887*2rπ/(r²π)²
Falls sich dies alles als richtig herausstellen sollte, wäre ich sehr dankbar für die Hilfe beim weiteren Lösen der Aufgabe, da ich einfach nicht weiterweiß :(.
Vielen, vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:28 Sa 01.05.2010 | | Autor: | dormant |
Hallo!
> Gewisse handelsübliche Konservendosen haben 887 cm3
> Inhalt. Wie groß sind der Radius und die Höhe der Dose
> zu wählen, damit der Materialverbrauch der Verpackung
> minimal wird?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin derzeit in einer Maturaklasse und mein
> Mathemathikprofessor hat mir diese Woche neun Aufgaben für
> mein Spezialgebiet gegeben, von welchen ich bisher keine
> einzige lösen konnte :(.
>
> Nun glaube ich einen Lösungsansatz für diese Aufgabe
> gefunden zu haben und bitte um Kontrolle des Ansatzes:
>
> Hauptbedingung:
> Oberfläche = 2r²π + 2rπh
Alles super.
> Nebenbedingung:
> r²πh = 887 cm³
> --> h = 887/r²πh
Hier ist der kleine Fehler, der dich quält : [mm] h=\bruch{887}{r^{2}\pi}
[/mm]
> Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen:
> O = 2r²π + 2rπ * 887/r²πh
Und damit erhältst du als Zielfunktion O(r) = [mm] 2r^2\pi+2r\pi\bruch{887}{r^2\pi}=2r^2\pi+2*887*r^{-1}
[/mm]
Und das kannst du sicherlich selber ableiten :)
> --> Nun sollte ich die neu formulierte Hauptbedingung
> ableiten, das will mir jedoch nicht wirklich gelingen;
> trotzdem hier mein Versuch:
>
> zur Erklärung meiner Vorgangsweise:
> 2rπ * 887/r²πh habe ich mit der Produktregel abgeleitet
> wobei ich für die Ableitung des Bruchs wiederum die
> Quotientenregel verwendet habe.
> Ich bin zu diesem Ergebnis gekommen:
> O' = 4rπ + 2*887/r²π + 2rπ * 887r²π -
> 887*2rπ/(r²π)²
>
> Falls sich dies alles als richtig herausstellen sollte,
> wäre ich sehr dankbar für die Hilfe beim weiteren Lösen
> der Aufgabe, da ich einfach nicht weiterweiß :(.
>
> Vielen, vielen Dank!
Grüße,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Alice_S |
Vielen Dank :)
nach meinem Versuch:
O'(r) = [mm] 4r\pi [/mm] - [mm] 2*887*r^{-2} [/mm] = [mm] 4r\pi [/mm] - [mm] \bruch{1744}{r²}
[/mm]
O'(r) = 0 / *r²
--> [mm] 4r\pi [/mm] * r² -1744 = 0
--> [mm] 4r³\pi [/mm] = 1744
--> r = [mm] \wurzel[3]{\bruch{1744}{4\pi}} \approx [/mm] 5,18
--> h = [mm] \bruch{887}{r²\pi} \approx [/mm] 10,53
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:47 Sa 01.05.2010 | | Autor: | Alice_S |
achja genau.. 2.Ableitung bilden und überprüfen, muss ich noch :).
Dankeschön, für die Korrektur und die aufmerksame Hilfe :D
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Fast: $2*887 \ = \ [mm] 17\red{7}4$ [/mm] .
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Prinzipiell richtig. Durch den obigen Rechenfehler ergibt sich hier ein leicht anderer Zahlenwert.
