Extremwertaufgabe mit Gefäßen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es soll ein prismenförmiges Gefäß bzw. ein zylindirsches Gefäß aus beliebigem Material mit einem Volumen von 23 Litern hergestellt werden. Dabei möchte man den Materialsverbrauch möglich gering halten. Sollte man sich nun für das Gefäß in Form eines oben offenen quadratischen Prismas oder in Form eines offenen Zylinders entscheiden? |
Meine Frage ist nun:
Ich habe bei beiden die Hauptbedingung und die Nebenbedingung aufstellt: HB = Oberfläche NB: Volumen.
Mein Problem ist nun, dass ich beim Ableiten einfach nicht weiterkomme!
HB: 2*r*PI*h+r²*PI
NB: (32/PI*h)=r2 -> in HB einfügen
->2*r*PI*h+(32/PI*h)*PI
Und nun habe ich schon das Problem:
Wie soll ich das ganze Ableiten (also 0 setzten), wenn es keine Hochzahlen gibt.
Beim Ergebnis würde dann Null rauskommen!
Kann das stimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo [mm] Green_Apple_2 [/mm] ,
inhaltlich wird bestimmt bald jemand antworten.
Mir geht es hier nur um eine Ausdrucksweise.
Schon oft habe ich mich gefragt, weshalb in Extremal-
aufgaben so oft von einer "Hauptbedingung" gesprochen
und geschrieben wird. Meiner Ansicht nach ist dies ziemlich
unsinnig.
In der vorliegenden Aufgabe geht es, wie so oft in
ähnlichen Aufgaben, darum, eine gewisse Oberfläche
zu minimieren unter der Bedingung (oder "Nebenbedingung"),
dass ein Volumen einen vorgegebenen konstanten Wert
haben soll.
Die zu minimierende Oberfläche ist dabei die Zielgröße
(bzw. die Zielfunktion) der Extremwertaufgabe.
Irgendwelche "ganzheitlich orientierten" Geister muss es
gestört haben, dass in solchem Zusammenhang zwar von
"Nebenbedingungen" die Rede war, aber nicht von einer
"Hauptbedingung" - und die haben dann die seltsame
Praxis begründet, statt von einer zu optimierenden
Größe oder Zielgröße von einer "Hauptbedingung" zu sprechen.
Wenn man dieses Wort schon verwenden will, kann es
aber bestimmt nicht für die Zielgröße selber und auch
nicht für eine Gleichung stehen, welche diese durch die
Variablen ausdrückt, sondern für die Forderung, dass
diese Zielgröße z.B. einen minimalen Wert annehmen soll.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:00 Di 13.09.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Green Aplle,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> HB: 2*r*PI*h+r²*PI
Besser: [mm]\red{O(r,h) \ =} \ 2*\pi*r*h+\pi*r^2[/mm]
> NB: (32/PI*h)=r2 -> in HB einfügen
Ist nun [mm]V \ = \ 32[/mm] oder [mm]V \ = \ 23[/mm] korrekt?
Zudem wird es deutöich einfacher, wenn Du die Nebenbedingung nach [mm]h \ = \ ...[/mm] umstellst.
> ->2*r*PI*h+(32/PI*h)*PI
Wieder besser: [mm]\red{O(h) \ =} \ 2*\pi*r*h+\bruch{32}{\pi*h}*\pi[/mm]
Auf jeden Fall zu beachten ist jedoch, dass Du jedes [mm]r_[/mm] durch [mm]h_[/mm] ersetzen musst, also auch das [mm]r_[/mm] im ersten Term, damit nur noch eine Variable verbleibt.
Daher obigen Tipp zur Nebenbedingung anwenden.
> Und nun habe ich schon das Problem:
> Wie soll ich das ganze Ableiten (also 0 setzten), wenn es
> keine Hochzahlen gibt.
Das verstehe ich nicht, was Du meinst.
Gruß
Loddar
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