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Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:55 Di 15.07.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
a) Berechnen Sie Länge, Breite und Höhe einer quaderförmigen Kiste ohne Deckel, sodass das Volumen genau
32 [mm] cm^3 [/mm] beträgt und die Oberfläche – und damit der Materialverbrauch – minimal wird.
Wie klein ist die minimale Oberfläche?
Warum gibt es keine solche Kiste mit diesem Volumen und maximaler Oberfläche?


b) Berechnen Sie Länge, Breite und Höhe einer quaderförmigen Kiste ohne Deckel, sodass die Oberfläche genau
27 [mm] cm^2 [/mm] beträgt und das Volumen maximal wird. Wie groß ist das maximale Volumen?

a) mit deckel ist doch die große seitenfläche gemeint oder? das Volumen ändert sich ja nicht wenn der Deckel fehlt

a=Länge

b=Breite

c=Höhe

V=32=a*b*c

O= 2*(a*b+b*c)+a*c

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] f(a,b)=2*(a*b+b*c)+a*(a*b-32)=a^2*b+2ab+2bc-32a [/mm]

habe ich die funktion richtig gebildet? hier muss ich nur noch das minimum bestimmen stimmts?

        
Bezug
Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Di 15.07.2014
Autor: Adamantin

Hiho,

> a) Berechnen Sie Länge, Breite und Höhe einer
> quaderförmigen Kiste ohne Deckel, sodass das Volumen genau
> 32 [mm]cm^3[/mm] beträgt und die Oberfläche – und damit der
> Materialverbrauch – minimal wird.
>  Wie klein ist die minimale Oberfläche?
>  Warum gibt es keine solche Kiste mit diesem Volumen und
> maximaler Oberfläche?
>  
>
> b) Berechnen Sie Länge, Breite und Höhe einer
> quaderförmigen Kiste ohne Deckel, sodass die Oberfläche
> genau
> 27 [mm]cm^2[/mm] beträgt und das Volumen maximal wird. Wie groß
> ist das maximale Volumen?


>  a) mit deckel ist doch die große seitenfläche gemeint
> oder?

Woher sollen wir das wissen? Das ist nicht gerade eine mathematische Frage ;) Wir können nur sinnvoll annehmen, dass ein Deckel für gewöhnlich Dinge zudeckt, daher sein Name, und in unserer Welt ist der Deckel meistens oben....daher denke ich persönlich, dass die nach oben gewandte Fläche a*b gemeint ist.

>das Volumen ändert sich ja nicht wenn der Deckel

> fehlt
>  
> a=Länge

Länge nach hinten, also Tiefe oder Länge von links nach rechts?

>  
> b=Breite
>  
> c=Höhe
>  
> V=32=a*b*c

[ok]

>  
> O= 2*(a*b+b*c)+a*c

Kommt drauf an, was bei dir a und b ist. Für mich ist a immer die vordere Kante, damit wäre a * c die nach vorne und hinten zeigende Fläche. Wenn bei dir a die Tiefe ist, also die lange (je nach dem was raus kommt) Kante nach hinten, dann ok. Im Endeffekt ändern sich aber nur Buchstaben, für die Rechnung macht es keinen Unterschied.

a*c ist aber definitiv falsch, jedenfalls von der Anschauung, da der Deckel ja obendrauf liegt und damit kann die Fläche keine Höhe haben. Ändert aber auch nix an der Rechnung, du berechnest jetzt halt ,dass die vordere Öffnung fehlt (oder die seitlich), dann haben wir den Quader eben auf die Seite gelegt. Da dies beliebige Buchstaben sind, wird die Rechnung immer dasselbe Ergebnis liefern, mal ist b eben 5 cm und a 4 cm oder umgekehrt (Phantasiewerte).

Also sag ich mal
[ok]

>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]f(a,b)=2*(a*b+b*c)+a*(a*b-32)=a^2*b+2ab+2bc-32a[/mm]
>  

[notok]

falsch nach c aufgelöst. Außerdem ein c vergessen. Macht wenig Sinn, ein c zu ersetzen und das andere stehen zu lassen, das führt zu sehr unglücklichen Lösungsversuchen...

> habe ich die funktion richtig gebildet? hier muss ich nur
> noch das minimum bestimmen stimmts?


Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgaben: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 Di 15.07.2014
Autor: arbeitsamt

hallo,

ich orientiere ich nun an diesem Quader http://www.michael-buhlmann.de/Mathematik/images/quader01.JPG

Ich nehme jetzt einfach an, dass der deckel die Seite a*b ist

V=32=a*b*c

O=ab+2ac+2bc

[mm] O(a,b)=ab-\bruch{64}{b}+\bruch{64}{a} [/mm]

[mm] \bruch{\partial O(a,b)}{\partial a}=b-\bruch{64}{a^2}=0 [/mm]

[mm] \bruch{\partial O(a,b)}{\partial b}=a+\bruch{64}{b^2}=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] b=\bruch{64}{a^2} [/mm]

[mm] 0=a+\bruch{a^4}{64} [/mm]

[mm] 0=a(1+\bruch{a^3}{64}) [/mm]

[mm] a_1=0 [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] 0=1+\bruch{a^3}{64} [/mm]

[mm] a^3=-64 [/mm]

ich weiß gerade nicht wie ich hier die restlichen Lösungen bestimmen soll?

[mm] a_2=\wurzel[3]{64i^2} [/mm]

wie bestimme ich die restlichen 2 lösungen?


Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgaben: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:57 Di 15.07.2014
Autor: angela.h.b.


> hallo,

>

> ich orientiere ich nun an diesem Quader
> http://www.michael-buhlmann.de/Mathematik/images/quader01.JPG

>

> Ich nehme jetzt einfach an, dass der deckel die Seite a*b
> ist

>

> V=32=a*b*c

>

> O=ab+2ac+2bc

>

> [mm]O(a,b)=ab\red{-}\bruch{64}{b}+\bruch{64}{a}[/mm]

Hallo,

das Minuszeichen ist falsch, und das wird Folgen haben.

LG Angela



>

> [mm]\bruch{\partial O(a,b)}{\partial a}=b-\bruch{64}{a^2}=0[/mm]

>

> [mm]\bruch{\partial O(a,b)}{\partial b}=a+\bruch{64}{b^2}=0[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow[/mm]

>

> [mm]b=\bruch{64}{a^2}[/mm]

>

> [mm]0=a+\bruch{a^4}{64}[/mm]

>

> [mm]0=a(1+\bruch{a^3}{64})[/mm]

>

> [mm]a_1=0[/mm]

>

> [mm]\Rightarrow[/mm]

>

> [mm]0=1+\bruch{a^3}{64}[/mm]

>

> [mm]a^3=-64[/mm]

>

> ich weiß gerade nicht wie ich hier die restlichen
> Lösungen bestimmen soll?

>

> [mm]a_2=\wurzel[3]{64i^2}[/mm]

>

> wie bestimme ich die restlichen 2 lösungen?

>

Bezug
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