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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mi 11.04.2007 | | Autor: | mrs.Bean |
| Aufgabe | | Der Graph von f hat im Koordinatenursprung die steigung 1 und ändert im punkt P(1/f(1) seine krümmungsrichtung. die tangente an den graphen von f im punkt P(1/(1) schneidet die gerade g mit g(x)=-1/3x+4/3 im punkt p(1/f(1) senkrecht. -Bestimmen sie die funktionsgleichung 4.grades, deren graph die bedingungen erfüllt. |
so, ich habe bis jetzt leider nur zwei gleichungen aufstellen können. da die tangente die gerade senkrecht im punkt (1/f(1) schneidet, überlege ich, ob ich mit den daten von g weiterrechnen kann. z.b. mit der steigung -1/3 ....aber die tangente hat ja mit der geraden nur den punkt gemeinsam?? komme leider nicht weiter..
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mi 11.04.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin fräulein bohnenstange,
gesucht: eine funktion 4. grades, d.h.
f(x)= [mm] ax^4 +bx^3 +cx^2 [/mm] +dx + e (I)
> Der Graph von f hat im Koordinatenursprung
=> e=0 !
die steigung 1
f'(x)= [mm] 4ax^3 [/mm] + [mm] 3bx^2 [/mm] + 2cx + d (II)
f'(0)=1 => d=1 !
> und ändert im punkt P(1/f(1)) seine krümmungsrichtung.
d.h. dort hat die funktion einen Wendepunkt, oder?!
f''(x)= [mm] 12ax^2 [/mm] + 6bx +2c
f''(1)= 0 bzw. 0=12a +6b +2c (III)
die
> tangente an den graphen von f im punkt P(1/f(1)) schneidet
t(x)= [mm] m_{t}*x [/mm] + z hier aber nicht wichtig!
f(1)= [mm] m_{t}*1 [/mm] + z
> die gerade g mit g(x)=-1/3x+4/3 im punkt p(1/f(1)
> senkrecht.
stehen zwei geraden senkrecht aufeinander so gilt:
[mm] m_{g}*m_{t}= [/mm] -1
[mm] m_{g}= [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
=> [mm] m_{t} [/mm] =3 d.h. f'(1)=3 !
außerdem gilt ja:
g(1)= f(1)
- [mm] \bruch{1}{3} [/mm] * 1 + [mm] \bruch{4}{3} [/mm] = 1
1 = a + b + c + 1
=> a+b+c=0 (III)
nun habe ich für die drei verbleibenden koeffizienten drei gleichungen, alles klar?
4a+3b+2c+1=3
0=12a+6b+2c
a+b+c=0
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Mi 11.04.2007 | | Autor: | mrs.Bean |
hallo wolfgang,
vielen dank für die schnelle hilfe!
Mrs. Bean!
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