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| Aufgabe | | Der innere Querschnitt eines Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Der Querschnittsumfang beträgt 180cm. Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks, wenn der Flächeninhalt der Querschnittsfläche maximal werden soll! |
~ Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. ~
Ich kommme leider nicht zurande mit den Aufgaben. Ich hab mir durch hartnäckiges Nachfragen und Bohren schließlich erklären können lassen wie es mit Punkt 1 - 2 funktioniert (also das Aufstellen einer Zielfunktion und das Aufstellen einer Variablenabhängigkeit) alle nachfolgenden Punkte stoßen bei mir auf blankes Unverständnis der Vorgänge. Ich habe allerdings den gesamten Rechenweg zur Rekonstruktion der Vorgänge abgeschrieben: (Der Vollständigkeit halber füge ich auch Pt. 1 & 2 an)
1. Zielfunktion
A= [mm] a\*b [/mm] + [mm] \bruch{\pi*r²}{2}
[/mm]
f(a;b;r)= [mm] a\*b [/mm] + [mm] \bruch{\pi*r²}{2}
[/mm]
2. Variablenabhängigkeit
[mm] r=\bruch{a}{2}
[/mm]
180 = [mm] a+2b+a\*\bruch{\pi}{2} [/mm] |-a [mm] |-a\*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
[mm] 180-a-\bruch{\pi}{2} [/mm] = 2b |:2
[mm] 90-\bruch{a}{2}-\bruch{\pi}{4}a [/mm] = b
(^Hier wird mein Wissen schon schwammig, ich merk mir mehr was für einzelne Schritte getan werden müssen ohne zu wissen warum. :/ )
3. Neue Zielfunktion
f(a) = [mm] a\*(90-\bruch{a}{2}-\bruch{\pi}{4}a)+\bruch{\pi}{2}\*(\bruch{a}{2})²
[/mm]
f(a) = [mm] 90a-\bruch{a²}{2}-\bruch{a²\pi}{4}+\bruch{a²}{4}\*\bruch{\pi}{2}
[/mm]
f(a) = [mm] 90a-\bruch{1}{2}a²-\bruch{\pi}{4}a²+\bruch{\pi}{8}a²
[/mm]
4. Maximum
f'(a) = [mm] 90-a-\bruch{}\pi{}2a+\bruch{\pi}{4}a
[/mm]
f'(a) = [mm] 90-a-\bruch{\pi}{4}a
[/mm]
f"(a) = [mm] -1-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
0 = [mm] -90-a-\bruch{\pi}{4}a [/mm] |-90
-90 = [mm] -a-\bruch{\pi}{4}a |\*(-1)
[/mm]
90 = [mm] a+\bruch{\pi}{4}a
[/mm]
90 = [mm] a(1+\bruch{\pi}{4}a) |:(1+\bruch{\pi}{4}a
[/mm]
[mm] \bruch{90}{1+\bruch{\pi}{4}a} [/mm] = a = 50,41
Überprüfung: f"(50,41) = [mm] -1-\bruch{\pi}{4}<0 \Rightarrow [/mm] Maximum
5. Werte
a = 50,41cm
b = [mm] 90-\bruch{50,41}{2}-\bruch{\pi}{4}\*50,41 [/mm] = 25,2
Ich hoffe jmnd. steigt da durch. Ich tue es gegen Ende absolut nicht... vielen Dank im Vorraus!
P.S: Morgen schreibe ich eine Mathearbeit, aber da ist mir die 5 eh gewiss, mir gehts mehr um das Verständnis, das Thema kommt sicher irgendwo wieder...
Grüße,
Noel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Do 28.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
ich möchte dir zunächst das Prinzip noch einmal erklären, weil dieses Verständnis für alle Aufgaben grundlegend ist.
Du suchst erstmal eine Größe, die maximal oder minimal werden soll. Nehmen wir mal an, dass du eine Funktion der Größe hast, die nur von einer Größe abhängt, z.B. f(x)=...., dann kannst du von dieser Funktion ohne weiteres ein Maximum oder Minimum bestimmen, und dann sagen: Für den und den x-Wert ist meine Funktion maximal oder minimal. Das solltest du aus der Differentialrechnung kennen.
Das Problem bei diesen Aufgaben ist aber folgendes: Du hast eine Funktion gegeben, die von zwei bis drei Variablen abhängt. Da kannst du aber in dem Sinne noch keine Differentialrechnung betreiben, da du das nur mit einer Variablen kannst. Deshalb hast du eine Nebenbedingung gegeben. Dann drückst du mit Hilfe der Nebenbedingung die eine Variable durch die andere aus, und reduzierst so die Funktion auf eine Variable, wo du dann mit der "normalen" Differentialrechnung rangheen kannst.
Nun konkret zu deiner Aufgabe:
> Der innere Querschnitt eines Entwässerungskanals ist ein
> Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis.
Okay. Wir wissen also, dass es sich um ein Rechteck mit aufgesetztdem Halbkreis handelt. Wenn wir die Breite a und die Höhe b nennen, und du dir eine Skizze machst, weist du schon, wie das ganze Gebilde ausschaut. Eine Empfehlung von mir: Mach dir zu solchen Aufgaben immer eine Skizze, das ist dann schon die Hälfte der Arbeit, die du machen musst.
Der Querschnittsumfang
> beträgt 180cm.
Das riecht ja schon nach einer Nebenbedingung.
Berechnen Sie die Seitenlängen des
> Rechtecks, wenn der Flächeninhalt der Querschnittsfläche
> maximal werden soll!
Okay. Hier liest du, dass es um den Flächeninhalt geht. Der soll dann maximal werden.
Okay, mach dir eine Skizze.
[Dateianhang nicht öffentlich]
> ~ Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. ~
> Ich kommme leider nicht zurande mit den Aufgaben. Ich hab
> mir durch hartnäckiges Nachfragen und Bohren schließlich
> erklären können lassen wie es mit Punkt 1 - 2 funktioniert
> (also das Aufstellen einer Zielfunktion und das Aufstellen
> einer Variablenabhängigkeit) alle nachfolgenden Punkte
> stoßen bei mir auf blankes Unverständnis der Vorgänge. Ich
> habe allerdings den gesamten Rechenweg zur Rekonstruktion
> der Vorgänge abgeschrieben: (Der Vollständigkeit halber
> füge ich auch Pt. 1 & 2 an)
>
> 1. Zielfunktion
> A= [mm]a\*b[/mm] + [mm]\bruch{\pi*r²}{2}[/mm]
> f(a;b;r)= [mm]a\*b[/mm] + [mm]\bruch{\pi*r²}{2}[/mm]
Okay. Der Fälcheninhalt setzt sich aus dem Flächeninhalt des Rechtecks zusammen. Das ist gleich $a*b$.
Dann weist du, dass du noch als Fläche oben den Halbkreis hast. Dann weist du, dass die Fläche von einem kompletten Kreis gleich [mm] $A=\pi*r^2$ [/mm] ist. Da du aber nur einen halben Kreis hast, ist [mm] $A_{Halbkreis}=\frac{\pi r^2}{2}$ [/mm] Ist das soweit einleuchtend?
Dann weist du also, dass sich der Flächeninhalt deines Gebildes als
[mm] $A=a*b+\frac{\pi r^2}{2}$ [/mm] darstellen lässt.
Das A(a,b,r) schreibt man, damit man sieht, wovon diese Funktion abhängt. In deinem Fall vom Radius des Kreises, der Seitenlänge a und b.
>
> 2. Variablenabhängigkeit
Genau. Hier versuchst du jetzt, deine Funktion A(a,b,r) als Funktion von einer Variablen darzustellen, damit du wie gewohnt ableiten kannst. Dafür hilft dir die Nebenbedingung.
> [mm]r=\bruch{a}{2}[/mm]
Ist dir das klar, woher diese Bedingung kommt? Du weist, dass der Durchmesser des aufgesetzen Kreises gleich a ist (s.h. Skizze, deshalb ist sie doch so wichtig!) D.h. der Radius deines Kreieses ist gleich a/2
> 180 = [mm]a+2b+a\*\bruch{\pi}{2}[/mm] |-a [mm]|-a\*\bruch{\pi}{2}[/mm]
Okay, das ist so erstmal unklar, woher das kommt.
Die 180 siehst du aus dem Umfang. Du weist, dass der Umfang der ganzen Sache gleich 180 ist.
Wenn du dir dann die Skizze anschaust (deshalb ist sie auch nochmal wichtig) und einmal rumgehst, siehst du:
U=a+b+b+Halber Kreisumfang
ist dir das soweit klar? Du gehst mit dem Finger einmal außen um das Gebilde, und siehst, dass der Umfang so zusammengerechnet werden kann.
Dann weist du, dass der Umfang eines ganzen Kreises gleich [mm] $2\pi [/mm] r$ ist. Da du aber nur nen Halbkreis hast, ist der Umfang des Halbkreises dann [mm] $\pi [/mm] r$ ist.
Dann weist du von oben, dass r=a/2, das kannst du dann wieder einsetzen für den Halbkreisumfang:
[mm] $U=\pi [/mm] a/2$
Okay, wenn wir das soweit hinschreiben sehen wir:
[mm] $U=2b+a+\frac{\pi a}{2}$ [/mm] und das ist gleich 180.
Dann kannst du nach b umstellen, dann kannst du die Variable b durch a ausdrücken.
Okay, wenn wir das alles in die Funktion A(a,b,r) einstezen, können wir b und r durch a ausdrücken, so dass wir letzendlich nur eine Funktion A(a) haben, die du wie gewohnt ableiten kannst.
[mm] $U_{Halbkreis}=\pi [/mm] a/2$ gilt.
> [mm]180-a-\bruch{\pi}{2}[/mm] = 2b |:2
> [mm]90-\bruch{a}{2}-\bruch{\pi}{4}a[/mm] = b
>
> (^Hier wird mein Wissen schon schwammig, ich merk mir mehr
> was für einzelne Schritte getan werden müssen ohne zu
> wissen warum. :/ )
Ich hoffe, das ist dir jetzt klarer geworden.
>
> 3. Neue Zielfunktion
>
> f(a) =
> [mm]a\*(90-\bruch{a}{2}-\bruch{\pi}{4}a)+\bruch{\pi}{2}\*(\bruch{a}{2})²[/mm]
> f(a) =
> [mm]90a-\bruch{a²}{2}-\bruch{a²\pi}{4}+\bruch{a²}{4}\*\bruch{\pi}{2}[/mm]
> f(a) =
> [mm]90a-\bruch{1}{2}a²-\bruch{\pi}{4}a²+\bruch{\pi}{8}a²[/mm]
Hier setzt du dann einfach die Relationen b=...a und r=a/2 in A(a,b,r) ein, und bekommst so die Funktino. Ist das jetzt klarer?
>
> 4. Maximum
>
> f'(a) = [mm]90-a-\bruch{}\pi{}2a+\bruch{\pi}{4}a[/mm]
> f'(a) = [mm]90-a-\bruch{\pi}{4}a[/mm]
> f"(a) = [mm]-1-\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> 0 = [mm]-90-a-\bruch{\pi}{4}a[/mm] |-90
> -90 = [mm]-a-\bruch{\pi}{4}a |\*(-1)[/mm]
> 90 = [mm]a+\bruch{\pi}{4}a[/mm]
> 90 = [mm]a(1+\bruch{\pi}{4}a) |:(1+\bruch{\pi}{4}a[/mm]
Okay, ab hier läuft dann eine normale Hcoh/Tiefpunktberechnung ab. Ableiten, Nullstezen und gucken, was rauskommt.
>
> [mm]\bruch{90}{1+\bruch{\pi}{4}a}[/mm] = a = 50,41
>
> Überprüfung: f"(50,41) = [mm]-1-\bruch{\pi}{4}<0 \Rightarrow[/mm]
> Maximum
Du musst ja noch zeigen, dass es sich tatsächlich um ein Maximum handelt, was du hier gemacht hast.
Wichtig ist auch noch dir die Ergebnisse anzugucken. Es gibt bei diesen Aufgaben meist irgendwelche Grenzen für a und b und r, die man einzuhalten hat.
>
> 5. Werte
> a = 50,41cm
> b = [mm]90-\bruch{50,41}{2}-\bruch{\pi}{4}\*50,41[/mm] = 25,2
Ja. Hier hast du jetzt a eingesetzt und dann den Wert für a und b(a) eingesetzt. Ebenso kannst du dann r einsetzen.
Dieses Verfahren solltest du wirklich versuchen zu verstehen, denn sowas kommt immer wieder vor, und man braucht es auch immer wieder.
>
> Ich hoffe jmnd. steigt da durch. Ich tue es gegen Ende
> absolut nicht... vielen Dank im Vorraus!
> P.S: Morgen schreibe ich eine Mathearbeit, aber da ist mir
> die 5 eh gewiss, mir gehts mehr um das Verständnis, das
> Thema kommt sicher irgendwo wieder...
Ich hoffe, du konntest die Aufgabe nachvollziehen. Falls nein, stelle bitte konkretere Fragen.
Liebe Grüße,
Kroni
>
> Grüße,
> Noel
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Erstmal vielen Dank für die anschauliche Erläuterung. Bis zu dem Punkt 3 ist mir alles sonnenklar, allerdings ergeben sich da (vielleicht teils aufgrund der mich verwirrenden Schreibweise, z.B. [mm] 180=a+2b+a*\bruch{\pi}{2} [/mm] statt $ [mm] 180=a+2b+\frac{\pi a}{2} [/mm] $... bei ersterem fallen zwar die beiden gleichen Variablen leichter ins Auge, aber ich persönlich versteh zweitere Darstellungsweise [deine] besser.) noch ein paar Fragen:
> $ f(a) = [mm] a*(90-\bruch{a}{2}-\bruch{\pi}{4}a)+\bruch{\pi}{2}*(\bruch{a}{2})² [/mm] $
Wo kommt da am Ende die Aufspaltung her? Ich meine ...
f(a) = [mm] a*b+\bruch{\pi r²}{2} [/mm] <- Wobei r ja [mm] \bruch{a}{2} [/mm] ist. Aber dann sähe es irgendwie so aus: [mm] \bruch{\pi \bruch{a}{2}}{2} [/mm] Statt dessen aber steht dort im Rechenweg $ [mm] +\bruch{\pi}{2}*(\bruch{a}{2})²
[/mm]
Ansonsten ist Punkt 3 und 4 auch soweit klar, alles schon mal gemacht... nur der Zusammenhang war mir nicht klar anhand der gestellten Aufgabe. Danke nochmals!
Ich werde jetzt mal eine weitere Übungsaufgabe dazu machen und dann ggf. weitere Fragen stellen, hier im Beitrag.
Grüße,
Noel
P.S: Hatte noch eine Skizze kurz nach Fertigstellen des Beitrages angehängt... ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Do 28.02.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
>
> > [mm]f(a) = a*(90-\bruch{a}{2}-\bruch{\pi}{4}a)+\bruch{\pi}{2}*(\bruch{a}{2})²[/mm]
>
> Wo kommt da am Ende die Aufspaltung her? Ich meine ...
>
> f(a) = [mm]a*b+\bruch{\pi r²}{2}[/mm] <- Wobei r ja [mm]\bruch{a}{2}[/mm]
> ist. Aber dann sähe es irgendwie so aus: [mm]\bruch{\pi \bruch{a}{2}}{2}[/mm]
> Statt dessen aber steht dort im Rechenweg $
> [mm]+\bruch{\pi}{2}*(\bruch{a}{2})²[/mm]
Das ist doch das selbe. Du weist doch, dass [mm] $\frac{ab}{c}=a*\frac{b}{c}=b*\frac{a}{c}$ [/mm] gilt. Das solltest du wissen. Wenn du dir das dan anguckst, siehst du auch, dass die beiden Darstellungen völlig äquivalent, also gleich, sind. Leuchtet das so ein?
>
> Ansonsten ist Punkt 3 und 4 auch soweit klar, alles schon
> mal gemacht... nur der Zusammenhang war mir nicht klar
> anhand der gestellten Aufgabe. Danke nochmals!
Kein Problem.
>
> Ich werde jetzt mal eine weitere Übungsaufgabe dazu machen
> und dann ggf. weitere Fragen stellen, hier im Beitrag.
>
> Grüße,
> Noel
>
> P.S: Hatte noch eine Skizze kurz nach Fertigstellen des
> Beitrages angehängt... ;)
LG
Kroni
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| Aufgabe | | Ein Quader besitzt mit einem Flächeninhalt von 1200cm². Die Länge a ist doppelt so groß wie die Breite b. Berechnen Sie die Länge a, die Breite b und die Höhe c, so dass das Volumen des Quaders maximal wird. |
Zu vorheriger Rückfrage meinerseits: Ja, die Äquivalenz der Darstellungsformen sehe ich ein... ich bin in einer merkwürdigen Position was mein mathematisches Hintergrundwissen angeht, ich habe nämlich in den letzten Jahren (wo die Grundlagen der jetzt behandelten Themen drankamen) Mathe aus einer Verweigerungshaltung heraus nicht verfolgt, so dass ich mir jetzt (wo ich gerade das Abi mache) wichtige Grundlagen fehlen. Srry, wenn ich daher immer mal wieder dumme/komische Fragen stelle.
Hm. Ich habe jetzt ein neues Problem mit einem anderen Aufgabentypus, s.o.
Ich habe mir folgende Skizze dazu angefertigt, und eine Formel konstruiert die so aber nicht stimmen kann.
Sizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Idee:
1. Zielfunktion
$ V=a*b*c $
2. Variablenabhängigkeit
[mm] b=\bruch{a}{2} [/mm]
Ich habe dann per Additionsverfahren aus der Oberflächenformel und der Volumenformel für Quader folgende Formel gebaut:
[mm] 2a*\bruch{a}{2}+2a*c+2\bruch{a}{2}*c+a*\bruch{a}{2}*c [/mm] =
V(a) = [mm] a*(\bruch{a}{2}*c+a+3c)-1200 [/mm]
Aber das passt nicht. Und ich habe auch das Gefühl dass der Ansatz falsch ist. Noch mal bei Pt. 2 angefangen mein Gedankengang: Ich habe a, und kann b auf a zurückführen [mm] (\bruch{a}{2}), [/mm] c bleibt stehen. Wären dann zwei Variablen, ich könnte dann nach a oder c auflösen aber was dann? Geistige Sackgasse. Ich bitte um einen kleinen Denkanstoss...
Verwirrte Grüße,
Noel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
sortieren wir, was passt
V(a,b,c)=a*b*c
[mm] V(a,c)=a*\bruch{a}{2}*c
[/mm]
aus der Fläche von 1200 ziehen wir jetzt eine Information für c, der Quader besteht aus sechs Rechtecken, zwei sind jeweils gleich
[mm] 1200=2*\bruch{a}{2}*a+2*a*c+2*\bruch{a}{2}*c
[/mm]
[mm] 1200=a^{2}+2ac+ac
[/mm]
[mm] 1200=a^{2}+3ac
[/mm]
[mm] c=\bruch{1200-a^{2}}{3a}
[/mm]
so jetzt in V einsetzen
[mm] V(a)=a*\bruch{a}{2}*\bruch{1200-a^{2}}{3a}
[/mm]
[mm] V(a)=200a-\bruch{1}{6}a^{2}
[/mm]
jetzt erfolgt die Extremwertbetrachtung
Steffi
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Achso, also einfach die beiden Formeln für Umfang und Oberfläche gleichsetzen... danke dir!
Ich glaube wenn ich nun noch die Formeln in meinen Kopf prügeln kann sollte ich wohl die 5 schaffen (also ca. 50% der Arbeit) ... ich danke euch für die Hilfe, Kroni und Steffi21.
Grüße,
Noel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Do 28.02.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo, der Umfang spielt doch bei dieser Aufgabe absolut keine Rolle, wie kommst du darauf? Die Formeln findest du in jedem Tafelwerk! Ein gut gemeinter Hinweis, setze deine persönlichen Ansprüche höher, 50% sind nicht ausreichend, das können schnell nur 40% oder weniger in der Klausur werden, und dann??
Steffi
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