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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwertaufgaben mit NB
Extremwertaufgaben mit NB < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Extremwertaufgaben mit NB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:42 So 03.07.2011
Autor: sabelotodo

Aufgabe
f(x,y)= [mm] \bruch{1}{2}(x^{2} [/mm] + [mm] y^{2}) [/mm] ; NB: [mm] g(x,y)=(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-4 [/mm]

hallo zusammen,

ich versuche gerade bei dieser Aufgabe von Extremwertaufgaben mit nebenbedingungen mit der Methode "Parametrisierung der nebenbedingungeneinen" einige Schritte zu nachvollziehen aber ich habe meine Zweifeln. ich habe selber die aufgabe nicht gelöst, aber ich versuche sie zu verstehen. wäre toll wenn ihr mir dabei helfen würdet.

Rechnenweg:

gesucht min f(x,y) unter der NB g(x,y)=0

k: [mm] \IR\to\IR^{2} [/mm]


[mm] k(\gamma)=\vektor{1+2cos(\gamma) \\ 1+2sin(\gamma)} [/mm]

[mm] \Rightarrow h(\gamma)=f(k(\gamma)) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}((1+2cos(\gamma))^{2}+(1+2sin(\gamma))^{2}) [/mm] = [mm] 3+2(cos(\gamma)+sin(\gamma)) [/mm]

                   !
[mm] h'(\gamma)= -2sin(\gamma)+2cos(\gamma) [/mm] = 0

[mm] \gamma_{1}=\bru{\pi}{4} [/mm] ; [mm] \gamma_{2}=\bruch{5\pi}{4} [/mm]

Frage: ich verstehe nicht wie rechnet man das. ich meine, wie krieg man [mm] \gamma_{1} [/mm] und [mm] \gamma_{2} [/mm] aus der Funktion [mm] h'(\gamma)= -2sin(\gamma)+2cos(\gamma) [/mm] = 0 raus?. ich weiss es hört sich blöd an, aber könnte mir bitte das jemand schritt für schritt erklären das mit dem Rechnen von [mm] \gamma_{1} [/mm] und [mm] \gamma_{2}?. [/mm] vielen vielen Dank!



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extremwertaufgaben mit NB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 So 03.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

Hier hast du:

[mm] 0=-2\sin(\gamma)+2\cos(\gamma) [/mm]
[mm] \Leftrightarrow2\sin(\gamma)=2\cos(\gamma) [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\sin(\gamma)=\cos(\gamma) [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{\sin(\gamma)}{\cos(\gamma)}=1 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\tan(\gamma)=1 [/mm]
[mm] \Leftrightarrow\gamma=\arctan(1) [/mm]


Und das gibt eben die beiden Werte (im Bogenmaß)
Die Periodizität des Tangens spielt hier keine Rolle, da die beiden gegebenen Funktionen Kreise sind, und in einem Kreis nur Winkel bis [mm] 2\pi [/mm] vorkommen.

Marius


Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgaben mit NB: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:41 So 03.07.2011
Autor: sabelotodo

klasse!, jetzt ist mir die sache viel klarer geworden. aber ich hab noch eine frage und zwar, woher oder wieso [mm] \gamma_{2}=\bruch{5}{4}\pi [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Extremwertaufgaben mit NB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 So 03.07.2011
Autor: M.Rex

Hallo

Der Tangens ist (im Gegensatz zum Sinus und Cosinus) eine [mm] $\pi$-periodische [/mm] Funktion.

Marius


Bezug
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