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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 So 18.07.2010 | | Autor: | myro |
| Aufgabe | f(x,y) = [mm] 8x^3+y^3+12xy
[/mm]
Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f und deren Typ. |
Hallo,
ich hab bei dieser Aufgabe folgendes Problem:
grad f = [mm] (24x^2 [/mm] +12y , [mm] 3y^2+12*x)
[/mm]
Hesse Matrix: (64x 12)
(12 6y)
Wenn ich den Gradienten 0 setze, bekomme ich die folgenden stationären
Punkte:
(0,0) Sattelpunkt, da Hesse-Matrix < 0
(-1,-2) Maximum, da Hesse-Matrix > 0 und fxx < 0
((1+3^(1/2)*i)/2, 1-3^(1/2)i)
((1-3^(1/2)*i)/2, 1+3^(1/2)i)
und bei den 2 letzteren komplexen Nullstellen des Gradienten liegt nun mein Problem. Wie kann ich den Typ der komplexen Nullstelle bestimmen?
Bei der ersten komplexen kann ich noch sagen, dass die Hesse-Matrix > 0 ist, da i wegfällt. Ansonsten fällt mir hierzu wirklich nichts ein. Gibt es da eventuell einen Satz der mir nicht bekannt ist? Oder ein Verfahren?
Vielen Dank
Klaus
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Hallo Klaus,
bitte benutze den Formeleditor, so ist das schlimm zu lesen, ich habe deinen Text mal editiert.
Klicke mal auf die Formeln, dann wird der Quelltext angezeigt!
> $f(x,y) = [mm] 8x^3+y^3+12xy$
[/mm]
> Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f und deren
> Typ.
> Hallo,
> ich hab bei dieser Aufgabe folgendes Problem:
> [mm] $\operatorname{grad} [/mm] f = [mm] (24x^2+12y, 3y^2+12x)$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Hesse Matrix: [mm] $\pmat{64x&12\\12&6y}$ [/mm]
>
> Wenn ich den Gradienten 0 setze, bekomme ich die folgenden
> stationären
> Punkte:
> $(0,0$) Sattelpunkt, da Hesse-Matrix < 0
???
Was soll das heißen "Hessematrix <0"?
Dieses Kriterium kenne ich nicht.
Die HM im Punkt $(0,0)$ hat einen positiven und einen negativen Eigenwert, daher ist sie indefinit und es liegt ein Sattelpunkt vor!
> $(-1,-2)$ lokales Maximum , da Hesse-Matrix > 0
wieder??
Ein (lok.) Maximum liegt vor, wenn die Matrix negativ definit ist, bzw. sie nur negative Eigenwerte hat
> und fxx < 0
> ((1+3^(1/2)*i)/2, 1-3^(1/2)i)
> ((1-3^(1/2)*i)/2, 1+3^(1/2)i)
>
> und bei den 2 letzteren komplexen Nullstellen des
> Gradienten liegt nun mein Problem. Wie kann ich den Typ der
> komplexen Nullstelle bestimmen?
Die musst du nicht beachten, die Funktion $f$ geht doch von [mm] $\IR^2\to\IR$, [/mm] ihr Gradient hat nur zwei reelle Nullstellen (-vektoren) ...
> Bei der ersten komplexen kann ich noch sagen, dass die
> Hesse-Matrix > 0 ist, da i wegfällt. Ansonsten fällt mir
> hierzu wirklich nichts ein. Gibt es da eventuell einen Satz
> der mir nicht bekannt ist? Oder ein Verfahren?
> Vielen Dank
> Klaus
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 So 18.07.2010 | | Autor: | myro |
Danke!
Entschuldigung ich hatte das etwas falsch formuliert, das Kriterium ist natürlich, dass die Determinante der Hesse-Matrix an dem Punkt > 0 und dann f 2 mal nach x abgeleitet in dem Punkt < 0 => Maximum.
Zusammenfassend brauch ich die komplexe Punkte also einfach nicht betrachten, da sie im reellen logischerweise keine Bedeutung für mich haben.
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