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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Berno |
Ich habe ein Problem meiner Aufgabe, die daraus besteht die Extremwerte der Funktion f( x ) = [ [mm] e^{-x^2 + 2x} (-x^3 [/mm] + 2x) ].
Mir ist bekannt, dass man die mögliche Extremwerte bekommt indem man die erste Ableitung gleich 0 setzt.
Also erst mal abgeleitet: f'( x ) = [ e^(2x - [mm] x^2) (2x^4 [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] 7x^2 [/mm] + 2x + 2)
was ist mit der Produkt- und Kettenregel berechnet habe. Die müsste schon mal stimmen.
Aber jetzt kommt mein eigentliches Problem:
Diese Funktion muss gleich 0 gesetzt werden.
[e^(2x - [mm] x^2) [/mm] wird nie null, also muss [mm] 2x^4 [/mm] - [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] 7x^2 [/mm] + 2x + 2 = 0 sein.
Hier bringt das ausklammern von x nichts und auch das substituiren bringt mich verständlicher weise nicht weiter, auch die PQ formel kann nicht angewandt werden, also muss wahrscheinlich die Polynomdivision durchgeführt werden. Doch bei dieser Methode benötigt man eine bekannte Nullstelle, die man meistens ducht ausprobieren ermittelt.
Ich habe jetzt ein wenig ausprobiert und herausgefunden, dass eine Nullstelle bei ungefähr x = 0,6699005 und eine andere bei x = -1,49277 liegen muss. Es gibt noch 2 weitere, wie ich an meiner Skizze erkennen könnte.
Das Problem ist ja jetzt, dass ich auch die Polynomdivision nicht durchführen kann, weil man da einen exakten wert benötigt. Mir sind keine weiteren Methoden bekannt.
Kann mir einer weiterhelfen? Wie kann ich die "möglichen" Extremstellen bestimmen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ich habe ein Problem meiner Aufgabe, die daraus besteht die
> Extremwerte der Funktion f( x ) = [ [mm]e^{-x^2 + 2x} (-x^3[/mm] +
> 2x) ].
> Mir ist bekannt, dass man die mögliche Extremwerte bekommt
> indem man die erste Ableitung gleich 0 setzt.
> Also erst mal abgeleitet: f'( x ) = [ e^(2x - [mm]x^2) (2x^4[/mm] -
> [mm]2x^3[/mm] - [mm]7x^2[/mm] + 2x + 2)
> was ist mit der Produkt- und Kettenregel berechnet habe.
also ich hab eine leicht andere Ableitung
Gruß
Oliver
mit der Produktregel und
[mm] u(x)=e^{-x^2+2x} [/mm]
[mm] u'(x)=e^{-x^2+2x}*(-2x+2)
[/mm]
[mm] v(x)=-x^3+2x [/mm]
[mm] v'(x)=-3x^2+2
[/mm]
f(x)=u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)
ergibt sich
[mm] f'(x)=e^{-x^2+2x}*(-2x+2)*(-x^3+2x)+(-3x^2+2)*e^{-x^2+2x}
[/mm]
[mm] f'(x)=e^{-x^2+2x}*(2x^4-7x^2-2x^3+4x+2)
[/mm]
beachte 4x statt 2x
das ändert aber nix an deinem Problem.
eine Lösungsformel für Gleichungen 4.Grades existieren nicht. Hier bleiben nur numerische Verfahren wie z.B. regula falsi oder Newtonvewrfahren. Wenn ihr sowas noch nicht behandelt habt, bleibt die Aufgabe für dich leider erst mal nicht lösbar.
> Die müsste schon mal stimmen.
> Aber jetzt kommt mein eigentliches Problem:
> Diese Funktion muss gleich 0 gesetzt werden.
> [e^(2x - [mm]x^2)[/mm] wird nie null, also muss [mm]2x^4[/mm] - [mm]2x^3[/mm] - [mm]7x^2[/mm]
> + 2x + 2 = 0 sein.
> Hier bringt das ausklammern von x nichts und auch das
> substituiren bringt mich verständlicher weise nicht weiter,
> auch die PQ formel kann nicht angewandt werden, also muss
> wahrscheinlich die Polynomdivision durchgeführt werden.
> Doch bei dieser Methode benötigt man eine bekannte
> Nullstelle, die man meistens ducht ausprobieren
> ermittelt.
> Ich habe jetzt ein wenig ausprobiert und herausgefunden,
> dass eine Nullstelle bei ungefähr x = 0,6699005 und eine
> andere bei x = -1,49277 liegen muss. Es gibt noch 2
> weitere, wie ich an meiner Skizze erkennen könnte.
> Das Problem ist ja jetzt, dass ich auch die
> Polynomdivision nicht durchführen kann, weil man da einen
> exakten wert benötigt. Mir sind keine weiteren Methoden
> bekannt.
> Kann mir einer weiterhelfen? Wie kann ich die "möglichen"
> Extremstellen bestimmen?
Auf jeden Fall hast du das Problem richtig erfasst.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:37 Mo 28.02.2005 | | Autor: | TomJ |
Die Ableitung von Oliver kann ich bestätigen.
Gleichungen 4. Grades wie im vorliegenden Fall
[mm] 2x^4-2x^3-7x^2+4x+2 [/mm] = 0
sind grundsätzlich algebraisch lösbar (Formeln von Ferrari), es kommen bei dieser aber keine "gutartigen" Werte heraus.
Entweder es liegt ein Notationsfehler vor oder sie sollte wirklich am Einfachsten Mit dem Newton-Verfahren gelöst werden.
Tipp: Die 4 Lösungen liegen zw. (-2..3).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:27 Mo 14.03.2005 | | Autor: | Berno |
Wir haben jetzt nach der Vorabiturklausur diese Aufgabe nochmal aufgegriffen. Wir haben, wie ich es mir schon gedacht habe, die Aufgabe mit Hilfe des Newtonverfahrens gelöst.
Ich bedanke mich dann mal an dieser Stelle für die Hilfe, die auch sehr sehr schnell kam.
mfg Berno
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