Extremwerte-verfeinfachen-II < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:09 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
Salut!
hänge irgendwie an hier fest:
A(r)= 2r [mm] \pi [/mm] h + [mm] \bruch{5}{2}r² \pi
[/mm]
=A bzw O (r)=2r [mm] \pi [/mm] ( [mm] \bruch{V}{r² \pi}- \bruch{1}{6r}) [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}r² \pi
[/mm]
= [mm] \pi[ \bruch{2rv}{r² \pi} [/mm] - [mm] \bruch{2r}{6 r}+ \bruch{5}{2}r²]
[/mm]
soweit okay?!
grübel.... [mm] \bruch{2v}{r \pi}??!.
[/mm]
wäre fein,wenn da mal jmd. einen tipp geben könnte...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:12 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
ähm ja ..pardon glaub bin im falschen forum geland..sollte in analysis.!
rien ne va plus...:o)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:37 Mi 24.08.2005 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
wäre fein, wenn Du mal die Aufgabenstellung angeben könntest!
Was sind denn A und O? Anscheinend Funktionen zur Berechnung der Oberfläche einer Art Zylinder!?
Was soll gemacht werden?
Deinem Titel nach zu urteilen soll vielleicht die Oberfläche maximiert werden!?
Sowas funktioniert normalerweise so:
Stelle eine Funktion auf, die Dir die gesuchte Größe (Volumen, Oberfläche oder so) in Abhängigkeit der unbekannten Variablen (z.B. Höhe h, Radius r) ausspuckt. Hängt die Funktion nur von einer Größe ab, z.B. dem Radius r, kannst Du den Extremwert einfach bestimmen (f ableiten, gleich 0 setzen etc.). Hängt sie z.B. von r und h ab und man soll das r finden, für das z.B. die Oberfläche maximal wird, muss h zuerst substituiert werden. Dazu muss man sich dann eine Nebenbedingung aufstellen, so dass man h in Abhängigkeit von r angeben kann und dieses h dann in f einetzt, so dass f nur noch von r abhängt. Dann wieder Extrema von f bestimmen,.
Hoffe mal, das war Deine Problem!? 
Schöne Grüße,
djmatey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Rien!
Ich habe zu Deiner Aufgabenstellung mal folgenden "Verdacht":
gegeben:
Zylinder mit aufgesetztem Kegel, Kegelhöhe halb so groß wie der Zylinderradius
gesucht:
minimale Oberfläche (jeweils die Mantelflächen, also ohne "Deckel") bei vorgegebenem Volumen (allgemeine Lösung)
Liege ich damit halbwegs richtig?
Dann sind Dir bei der Zielfunktion aber ein/zwei Fehler unterlaufen:
$V \ = \ [mm] \pi*r^2*h_Z [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^2*h_K [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*h_Z [/mm] + [mm] \bruch{1}{3}*\pi*r^2*\bruch{r}{2} [/mm] \ = \ [mm] \pi*r^2*h_Z [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}*\pi*r^3$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $h_Z [/mm] \ = \ [mm] \bruch{V}{\pi*r^2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6}*\red{r}$
[/mm]
$s \ = \ [mm] \wurzel{r^2+h_K^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{r^2+\left(\bruch{r}{2}\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\bruch{5}{4}r^2} [/mm] \ = \ [mm] r*\bruch{\red{\wurzel{5}}}{2}$
[/mm]
$A \ = \ [mm] 2\pi*r*h_Z [/mm] + [mm] \pi*r*s [/mm] \ = \ [mm] 2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2} - \bruch{1}{6}*r\right) [/mm] + [mm] \pi*r*r*\bruch{\wurzel{5}}{2}$
[/mm]
$= \ [mm] \pi*\left[\bruch{2V}{\pi*r}-\bruch{1}{3}r^2 + \bruch{\wurzel{5}}{2}*r^2\right]$
[/mm]
$= \ [mm] \pi*\left[\bruch{2V}{\pi}*r^{-1}+\left(\bruch{\wurzel{5}}{2}-\bruch{1}{3}\right)*r^2\right]$
[/mm]
Nun zu Deiner eigentlichen Frage: Das $V_$ bzw. der gesamte Bruch [mm] $\bruch{2V}{\pi}$ [/mm] wird nun wie eine Konstante (d.h. Unveränderliche) angesehen.
Du erhältst dann auch eine Lösung, die logischerweise von diesem $V_$ abhängig ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
Hi !
djmatey...ja richtig..aber soweit hatte ichs ja eigentlich...da lag/liegt weniger mein problem?! eher bei der vereinfachung des salats be A(r)=..
Loddar salut,...
Beinahe Richtig erkannt,.. es ist die form eines zylinder ABER mit 2 aufgesetzten Halbkugeln ( nicht kegel);
Radius der halbkugel ist Hälfte des Zylinderradiuses...und ja..gesucht ist die erforderlich blechmeng fürs Minimum...bei vorgegebenen Volumen.
V=1579,5 Pi
hab ich dennoch einen fehler jetzt drinnen?....grübel...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rien!
Deine Zielfunktion hat noch einen kleinen Fehler.
Es muß heißen:
$O(r) \ = \ 2r [mm] \pi*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}- \bruch{1}{6}*\red{r}\right) [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}\pi*r^2$
[/mm]
Das $r_$ nicht in den Nenner, sondern in den Zähler!
Nach dem Zusammenfassen solltest Du erhalten:
$O(r) \ = \ [mm] \bruch{2V}{\pi*r} [/mm] + [mm] \bruch{13}{6}*\pi*r^2$
[/mm]
Kontrollergebnis (bitte nachrechnen): [mm] $r_E [/mm] \ = \ [mm] \blue{9}$ [/mm] mit [mm] $A_{min} [/mm] \ = \ [mm] A\left(r_E\right) [/mm] \ = \ [mm] \blue{526,5}\pi$
[/mm]
Edit: Ergebnisse korrigiert. Loddar
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
*aufdemschlauchsteh*
hmm zusammenfassen..genau da komme ich genau nicht weiter.:--->
A(r)= 2r [mm] \pi [/mm] h + [mm] \bruch{5}{2}r² \pi [/mm]
=A bzw O (r)=2r [mm] \pi [/mm] ( [mm] \bruch{V}{r² \pi}- \bruch{1}{6r}) [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}r² \pi [/mm]
= [mm] \pi[ \bruch{2rv}{r² \pi} [/mm] - [mm] \bruch{2r}{6 r}+ \bruch{5}{2}r²] [/mm]
ab hier bin ich jetzt nicht mehr sicher... ist r² genau so wie r2 ..kann ich die" r" wegeliminieren..und wie ziehe ichs ab jetzt bzw wie fasse ichs am "einfachsten" zusammen?
[mm] \pi [/mm] [.....?...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rien!
$O(r) \ = \ [mm] 2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}- \bruch{1}{6}*r\right) [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}\pi*r^2$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{2*V}{r} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\pi*r^2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}\pi*r^2$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{2*V}{r} [/mm] + [mm] \pi*r^2*\left(\bruch{5}{2}-\bruch{1}{3}\right)$
[/mm]
$= \ [mm] \bruch{2*V}{r} [/mm] + [mm] \bruch{13}{6}\pi*r^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
Danke Loddar!aber..
Aber...kann mir jmd vielleicht kurz DIESEN schritt erklären..step by step..bissle ...???
(kann ich jetzt r² und 2 r als "gleich" ansehen und somit "r" wegkürzen?..darf ich r reinmultiplizieren in die klammer?...wie komme ich zu "1/3...")
ich hab ja überhaupt [mm] \pi [/mm] [....] bis jetzt gehabt...
*schlauchi*...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rien!
> (kann ich jetzt r² und 2 r als "gleich" ansehen und somit
> "r" wegkürzen?..darf ich r reinmultiplizieren in die
> klammer?...wie komme ich zu "1/3...")
Also ...
a.) [mm] $r^2$ [/mm] ist ja eine Kurzschreibweise für $r*r_$ .
Somit kann ich das gegen $2*r_$ kürzen.
b.) Wir dürfen nicht nur, wir sollten hier sogar in die Klammer hineinmultiplizieren.
c.) [mm] $2*\bruch{1}{6} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}$
[/mm]
$O(r) \ = \ [mm] 2\pi*r*\left(\bruch{V}{\pi*r^2}- \bruch{1}{6}*r\right) [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}\pi*r^2$ [/mm]
$= \ [mm] \bruch{2*\green{\pi}*\blue{r}*V}{\green{\pi}*\blue{r}*r} [/mm] - [mm] 2*\pi *r*\bruch{1}{3}*r [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}\pi*r^2$ [/mm]
Nun kürzen ...
$= \ [mm] \bruch{2*V}{r} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}\pi*r^2 [/mm] + [mm] \bruch{5}{2}\pi*r^2$ [/mm]
Nun fassen wir die hinteren beiden Terme zusammen, indem wir [mm] $\pi*r^2$ [/mm] ausklammern:
$= \ [mm] \bruch{2*V}{r} [/mm] + [mm] \pi*r^2*\left(\bruch{5}{2}-\bruch{1}{3}\right)$ [/mm]
Und mit Bruchrechnung erhalten wir den Wert der Klammer und sind fertig ...
$= \ [mm] \bruch{2*V}{r} [/mm] + [mm] \bruch{13}{6}\pi*r^2$ [/mm]
Nun ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
oh merci monsieur !
um einiges klarerer ist es schon...
wobei ich hoffe dass es mit [mm] \pi [/mm] [ [mm] \bruch{2 V}{r\pi} [/mm] + [mm] \bruch{13}{6}r²] [/mm] genauso gilt???? habs so jedenfalls.
und jetzt darf ichs ableiten -wenn richtig- [mm] ..bleibt\bruch{2 V}{r\pi} [/mm] konstant bei der ableitung,ja ne ..odeeeeer??
*wenigerschlauchi*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
Hellou...
um gottes willen, ja...
ist deine umforung aber noch nicht die ableitung,oder? erst formt man das um.und dann leitet mans ab?
also -1 [mm] \bruch{2V}{\pi}. [/mm] r²(also r hoch minus 2)....wärs dann abgeleitet oder irre mich jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rien!
Du meinst wohl: [mm] $\left(\bruch{2V}{\pi}*r^{-1}\right)' [/mm] \ = \ - [mm] \bruch{2V}{\pi}*r^{-2}$
[/mm]
Dann stimmt's ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Wie lautet die gesamte Ableitung $O'(r)_$ und ihre Nullstelle(n) ??
Gruß
Loddar
PS: Werde mich dann gleich auf den Nachhauseweg machen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mi 24.08.2005 | | Autor: | Rien |
hui !
man(n)/frau lernt dazu..
ja das meinte ich!!..und stimmt s? das ist die umformung gewesen..also jenes mit r hoch minus 1.. dann wird abgeleitet.
ja gute heimreise..muss erst in ruhe und langsam rechnen zur zeit*grins*..ich geb s dann durch ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:47 Do 25.08.2005 | | Autor: | Rien |
Hi...!
achja..ich hab da was zam gerechnet gehabt,hab aber ein so ein gespür dass etwas nicht ganz richtig sein dürfte.?!
also:
A(r) = [mm] \bruch{2V}{\pi}*\bruch{1}{r}+ \bruch{13}{6}
[/mm]
A(r)- abgeleitet-
= [mm] \bruch{2V}{\pi}* \bruch(-){1}{r²}+ \bruch{26}{6}r
[/mm]
A(r) = [mm] \bruch{-2V}{\pi r²}+ \bruch{13}{3}(gekürzt)
[/mm]
A(r)
...Nullsetzung...=> [mm] \bruch{13}{3}r= \bruch{2V}{\pi r²}
[/mm]
r= [mm] \bruch{6V}{13\pi r²}
[/mm]
nicht GANZ richtig hm?*glaub*
(die zweit größe von dem die Fläche abhängt..also die Höhe, erhalte ich durch s einsetzen dieses r oben...)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:22 Do 25.08.2005 | | Autor: | Rien |
..bei ableitung soll es minus 1 / r² heissen
und hab noch vergessen ein "r" und "r²" einzutragen...hatte dies soweit ich weiss das bei meiner rechnung berücksichtigt gehabt..dieses r..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Do 25.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Rien!
Du bist mit Deiner Umformung nach $r_$ noch nicht ganz fertig, schließlich hast Du noch auf beiden Seiten jeweils $r_$'s stehen.
Multipliziere doch nun mal mit [mm] $r^2$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung und ziehe anschließend die 3. Wurzel ...
Funktion mit Ableitung schreibe ich Dir nochmal sauber auf (ich denke, dass Du das richtige meinst, sieht aber etwas wüst aus ...):
$O(r) \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \left[\bruch{2V}{\pi}*r^{-1} + \bruch{13}{6}*r^2\right]$
[/mm]
$O'(r) \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \left[\bruch{2V}{\pi}*(-1)*r^{-2} + \bruch{13}{6}*2*r\right] [/mm] \ = \ [mm] \pi [/mm] * [mm] \left[- \bruch{2V}{\pi*r^2} + \bruch{13}{3}*r\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
PS: Bei meinem Ergebnis oben hatte ich mich verrechnet, werde das aber umgehen korrigieren!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 25.08.2005 | | Autor: | Rien |
Salut Loddar!
ach ich kann hier [mm] \bruch{1}{r} [/mm] nicht stehen lassn und ableiten..Muss es vorher "zusätzlich" [mm] \bruch{1}{r} [/mm] erst in r hoch minus 1 [mm] umformen?(r^{-1})--DANN [/mm] kann ich ableiten.right?
wärs denn SEHR falsch dies nicht umzuformen wie erläuert und es bei 1/r zu belassen?
MfG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Do 25.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rien!
Du musst den Bruch [mm] $\bruch{1}{r}$ [/mm] nicht erst umformen zu [mm] $r^{-1}$ [/mm] , um abzuleiten.
Ich finde es halt nur deutlicher so ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:14 Do 25.08.2005 | | Autor: | Rien |
Hi!!
Klar!
... finde ich auch !:)..you are right
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Do 25.08.2005 | | Autor: | Rien |
hm..mit r hoch minus gehts wesentlich besser ..nur ich bei r bekomme ich stets
r= [mm] \bruch{6V}{13\pi r²}..Not [/mm] right..?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Do 25.08.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Rien!
Multipliziere jetzt doch mal die Gleichung mit [mm] $r^2$ [/mm] ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Do 25.08.2005 | | Autor: | Rien |
ich weiss eine etwas schwierigere geburt.. anyhow..
also wenn ich r=..... mit r ² multpliziere, also den term...kriege ich
r³=.... und r ist dann schließlich die 3te wurzel ...
darf ich eine kleine frage stellen?..Multplizieren mit r²..ist es um r s zusammzufassen?also unter einem Hut zu bringen..?formsache?
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Do 25.08.2005 | | Autor: | Rien |
Alles klaaar soweit...:)*nick*
vielen schönen DANK erstma,loddar...!!!und danke auch für die "geduld "hier und da..g
MfG
(Weitere unklarheiten und fragen folgen noch höchst wahrscheinlich...?!will ich etwas verstanden haben,dann will ichs auch wirklich(!) VERSTANDEN haben..und das nicht irgendwie so..)...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Du hast in diesem Term ja noch unsere Variable $r_$ drin.
