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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwerte
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Extremwerte: Teilaufgabe LGS
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Sa 28.06.2014
Autor: Pingumane

Aufgabe
Alle Extrema von

f(x, y) = [mm] x^3-3x^2y+3xy^2+y^3-3x-21y [/mm]

Ich bilde davon erst einmal den Gradienten, indem ich partiell nach x und y ableite.

grad f(x, y) = [mm] \vektor{3x^2-6xy+3y^2-3 \\ -3x^2+6xy+3y^2-21} [/mm]

Dies setze ich null und habe somit ein LGS.

I. [mm] 3x^2-6xy+3y^2-3=0 [/mm]
II. [mm] -3x^2+6xy+3y^2-21=0 [/mm]

Umstellen:
I.
[mm] 3x^2-6xy+3y^2=3 [/mm]   | :3
[mm] x^2-2xy+y^2=1 [/mm]
[mm] (x-y)^2=1 [/mm]

II.
[mm] -3x^2+6xy+3y^2=21 [/mm]   |: 3
[mm] -x^2+2xy+y^2=7 [/mm]


Nun komme ich nicht weiter. Ich habe bereits versucht nach irgendeiner Methode zu schauen, bin aber noch nicht fündig geworden.
Wenn mir jemand helfen könnte und mir den nächsten Schritt erläutert, wäre ich dafür sehr dankbar.


Gruß
Pingu

        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:53 Sa 28.06.2014
Autor: abakus


> Alle Extrema von

>

> f(x, y) = [mm]x^3-3x^2y+3xy^2+y^3-3x-21y[/mm]
> Ich bilde davon erst einmal den Gradienten, indem ich
> partiell nach x und y ableite.

>

> grad f(x, y) = [mm]\vektor{3x^2-6xy+3y^2-3 \\ -3x^2+6xy+3y^2-21}[/mm]

>

> Dies setze ich null und habe somit ein LGS.

>

> I. [mm]3x^2-6xy+3y^2-3=0[/mm]
> II. [mm]-3x^2+6xy+3y^2-21=0[/mm]

>

> Umstellen:
> I.
> [mm]3x^2-6xy+3y^2=3[/mm] | :3
> [mm]x^2-2xy+y^2=1[/mm]
> [mm](x-y)^2=1[/mm]

Daraus folgen die beiden Möglichkeiten 
x-y=1 (also y=x-1)
und
x-y=-1 (also y=x+1).
Du kannst somit in deiner nachfolgenden Gleichung II jedes y durch x-1 (im anderen Fall durch x+1) ersetzen.
Gruß Abakus
>

> II.
> [mm]-3x^2+6xy+3y^2=21[/mm] |: 3
> [mm]-x^2+2xy+y^2=7[/mm]

>
>

> Nun komme ich nicht weiter. Ich habe bereits versucht nach
> irgendeiner Methode zu schauen, bin aber noch nicht fündig
> geworden.
> Wenn mir jemand helfen könnte und mir den nächsten
> Schritt erläutert, wäre ich dafür sehr dankbar.

>
>

> Gruß
> Pingu

Bezug
                
Bezug
Extremwerte: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:08 Sa 28.06.2014
Autor: Pingumane

Aufgabe
Alle Extrema von

f(x,y)=x³-3x²y+3xy²+y³-3x-21y

Vielen Dank für den Hinweis, damit hat es geklappt :)

Die Aufgabe habe ich nun durchgerechnet, doch am Ende komme ich nicht übereinstimmende Ergebnisse mit der Lösung und ich weiß nicht, warum.

Ich habe meine ganze Rechnung mal als Bild hochgeladen, ich hoffe das ist in Ordnung?
[Externes Bild http://s1.directupload.net/images/140628/cz3ettr9.jpg]


Die Lösung zu den Aufgaben lautet:
rel. Maximum in (-3, -2)
rel. Minimum in (3, 2)
Sattelpunkite in (-1, -2) und (1, 2)

Ich habe, wie  man sieht mehr, Lösungen; zum Teil unpassend eingeordnet. Aber keine Ahnung, warum.


Bezug
                        
Bezug
Extremwerte: [Version 2]
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Sa 28.06.2014
Autor: Adamantin

Ich weiß nicht, was du im Einzelnen gerechnet hast, dafür ist mir das Nachvollziehen deiner Handschrift (obwohl sehr leserlich!) zu anstrengend, verzeih mir daher, dass ich es dir einfach vorrechne.

Das größte Problem ist, dass Studenten (bist du, oder?) immer versuchen, mehr aus Gleichungen herauszuholen, als möglich ist.

Wir fangen nochmal beim Gradienten an:

$ [mm] \Nabla [/mm] f(x,y) = [mm] \begin{pmatrix} 3x^2-6xy+3y^2-3 \\ -3x^2+6xy+3y^2-21 \end{pmatrix}$ [/mm]

Wir erkennen wunderbar, dass die ersten beiden Terme nach Addition wegfallen:

$I+II = [mm] 6y^2-24 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow y^2 [/mm] = 4$

Daraus folgen lediglich zwei y-Werte, ohne dass ich irgendwelche Annahmen getroffen hätte. Da ich beide Gleichungen verarbeitet habe, kann es keine weiteren ys mehr geben!

$ [mm] y_{1/2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2$

Für jedes y bestimmen wir jetzt den x-Wert. Dabei ist es egal, welche GLeichung wir nehmen, ich nehme I

$I mit y=2: [mm] 3x^2-12x+12-3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_{1/2} [/mm] = 3,1$

D.h. zu einem y-Wert (hier 2) gibt es je zwei x-Werte, daher gibt es, da symmetrisch, 4 Punkte mit den Koordinaten
$ [mm] P_1(1,2); P_2(3,2); P_3(-1,-2); P_4(-3,-2)$ [/mm]

Rechnung für y=-2 sowie Hessematrix für Bestimmung der Extrema überlasse ich dir.

Übrigens als Alternative, da es selten so schön klappt wie hier, dass sich die Hälfte bei Addition weghebt:

Der Königsweg zum Ziel führt meist über Fallunterscheidung

1. Fall $x=0, y [mm] \neq [/mm] 0$

Dann bleibt übrig:
$I: [mm] 3y^2-3 [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow y^2=1 \Rightarrow y_{1/2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1$
$II: [mm] 3y^2 [/mm] - 21 = 0 [mm] \Rightarrow y_{1/2}= \pm \sqrt{21/3} [/mm] $

Nun aufgepasst: Eine Lösung für y existiert NUR, wenn beide Gleichungen simultan lösbar sind, immerhin gelten ja beide! Wir können uns also nicht y = 1 als Lösung picken und so tun, als wäre die zweite Gleichung egal oder Luft oder beleidigt...es GIBT KEINE LÖSUNG für den Fall x = 0! Denn beide Gleichungen produzieren bei Gültigkeit zusammen nur Widersprüche.

2. Fall: $y = 0, x [mm] \neq [/mm] 0$

$I: [mm] 3x^2 [/mm] -3 = 0 [mm] \Rightarrow x^2 [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x_{1/2} =\pm [/mm] 1 $
$II: [mm] -3x^2 [/mm] -21 = 0 [mm] \Rightarrow x_{1/2} [/mm] = [mm] \sqrt{-21/3}$ [/mm] nicht reell

Es gibt auch hier keine Lösung

3. Fall $x [mm] \neq [/mm] 0, y [mm] \neq [/mm] 0$ -> siehe oben.

Bezug
                                
Bezug
Extremwerte: Verstanden, Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:10 Sa 28.06.2014
Autor: Pingumane

Vielen lieben Dank für deine Antwort.
Die Berechnung der Punkte konnte ich prima nachvollziehen. Ich wusste gar nicht, dass man die Gleichungen untereinander einfach rechnen kann. Damit macht man es sich hier tatsächlich viel leichter und meine zusätzlichen Lösungen konnten berichtigt werden. :)

Mittlerweile habe ich auch meinen Fehler bei der Aufstellung der Hessematrix entdeckt.
Der letzte Schritt müsste so aussehen:
=72y*(-y+x)

Somit sind die Punkte (1,2) und (-1,-2) auch bei mir tatsächlich Sattelpunkte.


Vielen Dank für all die Hilfe!

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