Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Kisten07 |
| Aufgabe | | Man bestimme die relativen und absoluten Extremwerte von w=yx²(4-x-y) im Dreieck, dass begrenzt wird durch: x=0, y=0, x+y=6 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Meine Frage bezieht sich nicht speziell auf obige Aufgabe, sondern allgemein auf die Berechnung von Randextremwerten.
Innere Punkte mit Gradient, Hesse-Matrix und deren Definitheit sind nicht das Problem, aber wie gehe ich bei Randpunkten allgemein vor???
Die oben genannte Aufgabe ist aus dem "Repetitiorium der höheren Mathematik" in dem auch ein Lösungsweg dafür angeboten wird. Jedoch kann ich diesen nicht nachvollziehen.
Ich hoffe mir kann jemand helfen!
Gruß
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Mo 11.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Kerstin und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Man bestimme die relativen und absoluten Extremwerte von
> w=yx²(4-x-y) im Dreieck, dass begrenzt wird durch: x=0,
> y=0, x+y=6
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Meine Frage bezieht sich nicht speziell auf obige Aufgabe,
> sondern allgemein auf die Berechnung von Randextremwerten.
> Innere Punkte mit Gradient, Hesse-Matrix und deren
> Definitheit sind nicht das Problem, aber wie gehe ich bei
> Randpunkten allgemein vor???
>
> Die oben genannte Aufgabe ist aus dem "Repetitiorium der
> höheren Mathematik" in dem auch ein Lösungsweg dafür
> angeboten wird. Jedoch kann ich diesen nicht
> nachvollziehen.
Dann schreib diesen Lösungsweg doch mal auf, dann wird er hier (hoffentlich) erklärt.
>
> Ich hoffe mir kann jemand helfen!
>
> Gruß
> Kerstin
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:34 Di 12.08.2008 | | Autor: | Kisten07 |
(ich bin auch noch nach dem Fälligkeitsablauf an einer Antwort interessiert, hab ihn bloß falsch eingestellt... )
Also, ich habe mir die Lösung von Angela jetzt mal angeschaut, muss aber gestehen, dass ich da auch nicht wirklich weiterkomme...
Ich geb also hier mal die Lösung aus dem Buch an:
Randextremwerte:
Man skizziert die Höhenlinie w= x²y (4-x-y)=0
also die Geraden (i) x=0 (ii) y=0 (iii) 4-x-y=0
ich weiß leider nicht genau, was Höhenlinien sind, aber ist sozusagen mein erster Schritt bei der Betrachtung des Randes, dass ich meine Funktion =0 untersuche?
(1) für x=0 ist w=f(0,y)
Damit erkennt man aus der Skizze, dass für (0,y) mit 0 [mm] \le [/mm] y<4 relative Minima vorliegen und für (0,y) mit [mm] 4
Bei (4,0) liegt kein Extremwert, weil in jeder Umgebung w> 0 und w< 0 ist
Heißt das, wenn ich eine Skizze gemacht habe mit meiner begrenzenden Menge (hier Dreieck) und den Höhenlinien, so kann ich dadurch darauf schließen, in welchem der vorkommenden Bereiche w>0 bzw w<0 ist. Warum ist auf dem Rand des Bereiches w>0 dann ein Minima und umgekehrt? Wo die beiden Bereiche zusammenstoßen liegt dann kein Extremwert vor
(2) Entsprechend sind für y=0 bei (x,0) mit [mm] 0\lex<4 [/mm] relative Minima und bei (x,0) mit [mm] 4
(3) Für die Punkte auf der Geraden x+y=4 gilt das Gleiche wie für den
Punkt (0,4): Dort liegen keine Extremwerte, weil in jeder Umgebung w>0 und w<0 ist
(4) Bleibt das Randstück y=6-x mit [mm] 0\lex\le6 [/mm] zu untersuchen:
Man betrachtet w=f(x,y) auf diesem Randstück:
F(x):= f(x, 6-x) = -2x²(6-x). Die Funktion w=f(x,y) hat hier höchstens dort relative Extremwerte, wo F(x) welche hat. Man erhält die Punkte (0,6), (6,0) und (4,2).
(0,6) und (6,0) sind schon als relative Maxima erkannt.
Bei (4,2) könnte ein relatives Minimum von w=f(x,y) vorliegen. Da bei allen bereits erkannten relativen Minima die Funktionswerte 0 sind, f(4,2) = -64 gilt und w auf dem kompakten Bereich ein absolutes Minimum hat, liegt dieses bei (4,2)
Unter den relativen Maxima sucht man die absoluten und erhält (2,1) mit f(2,1)=4
Relative Maxima
(0,y) für [mm] 4
(x,0) für [mm] 4
absolutes Maximum
(2,1) mit f(2,1)=4
relative Minima
(0,y) für [mm] 0\ley<4 [/mm] mit f(0,y)=0
(x,0) für [mm] 0\ley<4 [/mm] mit f(x,0)=0
absolutes Minimum
(4,2) mit f(4,2)= -64
hier kommt jetzt das Verfahren zum Einsatz, was Angela beschrieben hat, dass ich die eine Dreiecksseite nach y auflöse und in w einsetze.
Ist es immer so, dass die Extrempunkte von F(x) auch höchstens diejenigen von f(x) sind? Wie ich diese erhalte ist mir klar. Die Punkte (0,6) und (6,0) haben wir ja schon zuvor behandelt. Den Punkt (4,2) kann ich jedoch nicht ganz nachvollziehen. Laut Skizze liegt er im Rand eines Bereichs, in dem w<0 ist, warum hier also plötzlich ein Minimum und nicht wie oben?
Ja, soweit, ich hoffe jemand von euch kann mir noch die Ungeklärtheiten nahebringen...
Viele liebe Grüße
Kerstin
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> Ich geb also hier mal die Lösung aus dem Buch an:
>
> Randextremwerte:
> Man skizziert die Höhenlinie w= x²y (4-x-y)=0
> also die Geraden (i) x=0 (ii) y=0 (iii) 4-x-y=0
> ich weiß leider nicht genau, was Höhenlinien sind, aber
> ist sozusagen mein erster Schritt bei der Betrachtung des
> Randes, dass ich meine Funktion =0 untersuche?
Hallo,
Höhenlinien sind die Linien, auf denen all die Punkte liegen, deren Funktionswert einen vorher festgelegten, bestimmten Wert hat.
Denk an Wanderkarten. Da gibt#s auch Höhenlinien. Wenn der Weg auf einer Höhenlinie liegt, geht man fein horizontal und muß sich nicht anstrengen.
Nein. Die Untersuchung auf Randextrema beginnt i.a. nicht mit dem Einzeichnen der Punkte, deren Funktionswert =0 ist.
Aufgrund der Machart der Funktion w kann man diesen Hohenlinien hier aber doch Informationen entnehmen.
Es ist aber auch hier mit den Höhenlinien allein nicht getan.
Ich nehme an, daß in einer vorhergehenden Teilaufgabe auch noch die Bereiche mit positiven und diejenigen mit negativen Funktionswerten gekennzeichnet wurden.
Mach das mal.
>
> (1) für x=0 ist w=f(0,y)
> Damit erkennt man aus der Skizze, dass für (0,y) mit 0 [mm]\le[/mm]
> y<4 relative Minima vorliegen und für (0,y) mit [mm]4
> relative Maxima
Wenn Du obige Skizzie vor Dir liegen hast, siehst Du, daß zwischen dien Punkten (0/0) und (0/4) die Funktionswerte dicht rechts und links der y-Achse positiv sind. Wenn sie nun auf der y-Achse =0 sind, hat man in diesem Bereich in jedem Punkt ein Minimum, denn es gibt ja keine kleineren Funktionswerte in der Umgebung.
In der Umgebung von (0/0) und (0/4) gibt es sowohl pos. als auch negative Funktionswerte, also hat man hier keine Extremwerte, und rechts von (4/0) ist es genau andersrum.
>
> (2) Entsprechend sind für y=0 bei (x,0) mit [mm]0\lex<4[/mm]
> relative Minima und bei (x,0) mit [mm]4
Das ist falsch. Zwischen 0 und 4 hat man oberhalb der x-Achse pos. Funktionswerte, unterhalb negativ, also hat man hier keine Extremwerte, und rechts von (4/0) ist es genau andersrum.
>
> (3) Für die Punkte auf der Geraden x+y=4 gilt das Gleiche
> wie für den
> Punkt (0,4): Dort liegen keine Extremwerte, weil in jeder
> Umgebung w>0 und w<0 ist
Das stimmt zwar, ist aber, wenn man die Randextrema der Funktion über dem bereich mit [mm] x\ge [/mm] 0, [mm] y\ge [/mm] 0, 6-x-y=0 untersucht, völlig ohne interesse.
>
> (4) Bleibt das Randstück y=6-x mit [mm]0\lex\le6[/mm] zu
> untersuchen:
> Man betrachtet w=f(x,y) auf diesem Randstück:
> F(x):= f(x, 6-x) = -2x²(6-x).
Wie Du richtig erkennst, ist das so, wie ich es Dir vorgeschlagen hatte.
> Die Funktion w=f(x,y) hat
> hier höchstens dort relative Extremwerte, wo F(x) welche
> hat. Man erhält die Punkte (0,6), (6,0) und (4,2).
> (0,6) und (6,0) sind schon als relative Maxima erkannt.
> Bei (4,2) könnte ein relatives Minimum von w=f(x,y)
> vorliegen. Da bei allen bereits erkannten relativen Minima
> die Funktionswerte 0 sind, f(4,2) = -64 gilt und w auf dem
> kompakten Bereich ein absolutes Minimum hat, liegt dieses
> bei (4,2)
> Unter den relativen Maxima sucht man die absoluten und
> erhält (2,1) mit f(2,1)=4
> Relative Maxima
> (0,y) für [mm]4
> (x,0) für [mm]4
>
> absolutes Maximum
> (2,1) mit f(2,1)=4
>
> relative Minima
> (0,y) für [mm]0\ley<4[/mm] mit f(0,y)=0
> (x,0) für [mm]0\ley<4[/mm] mit f(x,0)=0
>
> absolutes Minimum
> (4,2) mit f(4,2)= -64
>
> Ist es immer so, dass die Extrempunkte von F(x) auch
> höchstens diejenigen von f(x) sind?
Nein, der Witz ist, daß Du hier zusätzliche Punkte erhalten kannst.
Wenn Du die lok. Minima von f über ganz [mm] \IR [/mm] suchst, suchst Du ja Punkte, in deren Umgebung die Funktionswerte überall nicht größer sind als an dem aufzuspürenden Punkt.
Ein Minimum auf dem Rand muß keins auf dem gesamten Gebiet sein. Ich stelle mir ein eingezäuntes Gelände vor, z.B. meinen Garten. Die tiefste Stelle meines Gartens kann dort sein, wo Zaun steht, also auf dem Rand. Daß es direkt hinter dem zaun weiter streng bergab geht, interessiert mich nicht, sofern ich mich nur für die Tiefpunkte meines Gartens interessiere.
>. Den Punkt (4,2) kann ich jedoch nicht ganz
> nachvollziehen. Laut Skizze liegt er im Rand eines
> Bereichs, in dem w<0 ist, warum hier also plötzlich ein
> Minimum und nicht wie oben?
Wenn ich in einen 70m tiefen Brunnenschacht falle, bin ich verflixt weit unten, auch wenn der Boden des Schachtes sich 456 m über dem Meeresspiegel befindet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 12.08.2008 | | Autor: | Kisten07 |
> (2) Entsprechend sind für y=0 bei (x,0) mit 0< x [mm] \le [/mm] 4
> relative Minima und bei (x,0) mit $ [mm] 4
Das ist falsch. Zwischen 0 und 4 hat man oberhalb der x-Achse pos. Funktionswerte, unterhalb negativ, also hat man hier keine Extremwerte, und rechts von (4/0) ist es genau andersrum.
Hallo nochmal!
Alles, was bei meiner letzten Frage nicht in grün geschrieben war, hab ich aus dem Buch als "offiziellen" Lösungsweg abgeschrieben. Haben die da einen Fehler gemacht? Hatte nur einen Fehler in meiner Ausführung: bei (x,0) mit 0< x [mm] \le [/mm] 4 sollte es heißen.
Ansonsten danke für die schnelle und hilfreiche Antwort, werde mich jetzt mit einer anderen Aufgabe nochmal reinvertiefen
Liebe Grüße
Kerstin
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> > (2) Entsprechend sind für y=0 bei (x,0) mit 0< x [mm]\le[/mm] 4
> > relative Minima und bei (x,0) mit [mm]4
> Maxima
>
> Das ist falsch. Zwischen 0 und 4 hat man oberhalb der
> x-Achse pos. Funktionswerte, unterhalb negativ, also hat
> man hier keine Extremwerte, und rechts von (4/0) ist es
> genau andersrum.
>
> Hallo nochmal!
> Alles, was bei meiner letzten Frage nicht in grün
> geschrieben war, hab ich aus dem Buch als "offiziellen"
> Lösungsweg abgeschrieben. Haben die da einen Fehler
> [green]gemacht?
Hallo,
wenn ich den pos. Bereich der x-Achse anschaue, habe ich ober- und unterhalb Bereiche verschiedener Vorzeichen, also keine Extremwerte auf der x-Achse - wenn ich f über ganz [mm] \IR [/mm] betrachte.
Wenn ich jetzt allerdings nur bis zum Rand schaue, dann stimmt es. Auf diesem unteren Rand sind die Funktionswerte allesamt =0. Und da der Bereich unterhalb der x-Achse überhaupt nicht in dem Gebiet liegt, welches ich betrachte, ist es so, daß die Punkte zwischen (0/0) und (0/4) Minima sind, weil es Umgebungen gibt, in denen es keine kleineren Funktionswerte gibt, die Punkte zwischen (4/0) und (6/0) sind Maxima aus analogem Grund. (4/0) ist kein Extremwert, denn hier liegen in jeder Umgebung Punkte mit pos. und solche mit neg. Funktionswert.
Ich hatte das in meiner ersten Antwort mißverständlich bis falsch gesagt, weil ich wohl gerade vergessen hatte, daß es um Randextrema geht.
Diese Untersuchung mit w=0 funktioniert hier aber nur, weil die Funktionswerte für (0,y) und (x,0) durchgehend =0 sind.
Wäre die Funktion so, daß die Funktionswerte hier =5 wären, müßten wir die Höhenlinien w=5 anschauen, und wenn die Funktion nicht konstant wäre, so wie für 6-x-y=0 eine Untersuchung durchführen.
Gruß v. Angela
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> Man bestimme die relativen und absoluten Extremwerte von
> w=yx²(4-x-y) im Dreieck, dass begrenzt wird durch: x=0,
> y=0, x+y=6
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Meine Frage bezieht sich nicht speziell auf obige Aufgabe,
> sondern allgemein auf die Berechnung von Randextremwerten.
> Innere Punkte mit Gradient, Hesse-Matrix und deren
> Definitheit sind nicht das Problem, aber wie gehe ich bei
> Randpunkten allgemein vor???
>
> Die oben genannte Aufgabe ist aus dem "Repetitiorium der
> höheren Mathematik" in dem auch ein Lösungsweg dafür
> angeboten wird. Jedoch kann ich diesen nicht
> nachvollziehen.
Hallo,
die prizipielle Vorgehensweise:
zunächst einmal berechnest Du die lokalen Extremwerte mit Gradient und Hessematrix, und schaust, welche von denen im fraglichen gebiert, hier also im Inneren des Dreiecks, liegen.
Anschließend ist der Rand zu untersuchen.
Die Funktionswerte auf den Koordinatenachsen sind ja bei Deiner Funktion w konstant bei 0.
Zu untersuchen ist dann noch der Verlauf der Funktion über der Geraden x+y=6 zwischen den Punkten (0/6) und (6/0).
Hierfür hast Du zwei Möglichkeiten, entweder den Lagrangeansatz,, oder Du reduzierst das Problem durch Einsetzen von y=-x+6 in die Funktion w auf ein eindimensionales.
Soweit der grobe Ablauf.
Für Weitergehendes müßte man erstmal sehen, was Du kannst und weißt und tust.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:30 Mo 11.08.2008 | | Autor: | Kisten07 |
Ok, soweit schon mal vielen.
Ich schau jetzt mal, wie weit ich mit den Angaben von Angela komme und probier die verschiedenen Ansätze, falls ich dann noch Probleme habe rühr ich mich nochmal.
Liebe Grüße
Kerstin
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