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Hallo,
mir ist aufgefallen, dass man zum Bestimmen des Extremwertes (lok. Max., lok. Min) die Werte auf der Diagonalen der Hesse-Matrix betrachtet.
Aber warum betrachtet man nur die Diagonale? Ich meine, dann bräuchte man im Prinzip doch gar nicht die ganze Hesse-Matrix berechnen.
Und was ist wenn die Werte auf der Diagonalen der Hesse-Matrix zu meinem verdächtigten Extremwert alle 0 sind. Habe ich dann kein Extremum?
Liebe Grüße
sommer![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:18 So 21.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> mir ist aufgefallen, dass man zum Bestimmen des
> Extremwertes (lok. Max., lok. Min) die Werte auf der
> Diagonalen der Hesse-Matrix betrachtet.
> Aber warum betrachtet man nur die Diagonale? Ich meine,
> dann bräuchte man im Prinzip doch gar nicht die ganze
> Hesse-Matrix berechnen.
naja, wie das eben so ist in der Mathematik: Wenn etwas auffällt, kann das auch Zufall sein. Und deswegen gibt es in der Mathematik ja eben so viele Beweise, denn wenn alleine aus der Tatsache, dass etwas auffällt, man sofort die Richtigkeit einer Aussage hätte, na dann...
Vermutlich hattet ihr schöne Beispiele, wo man mit der Diagonalen der Hessematrix arbeiten kann. Und jetzt kommen wir zu der Wahrheit:
Sinnvoll ist es dafür, wenn Du in diesem ![[]](/images/popup.gif) Skript Kapitel 19 und 20 durchgehst. Interessant für Dich sollte zunächst mal Satz 20.21 sein. Dort stehen Aussagen, wo der Begriff der positiven/negativen (Semi-)Definitheit verwendet wird. In der vorherrgehenden Bemerkung 20.20 steht eine (jeweilige) Charakterisierung dieses Begriffes. Und bei gewissen Matrizen reicht die Diagonale, um die Eigenwerte der Matrix abzulesen...
> Und was ist wenn die Werte auf der Diagonalen der
> Hesse-Matrix zu meinem verdächtigten Extremwert alle 0
> sind. Habe ich dann kein Extremum?
Ich formuliere diese Frage jetzt mal sinnvoll um: Was, wenn ich einen kritischen Punkt [mm] $x^{(0)}$ [/mm] gegeben habe, aber die zugehörige Hessematrix von [mm] $\black{f}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x^{(0)}$ [/mm] (also [mm] $H_f(x^{(0)})$) [/mm] so ist, dass alle Eigenwerte $=0$ sind?
1. Feststellung: Nach Bemerkung 20.20.2 gilt:
Die (Hesse-)Matrix (von [mm] $\black{f}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x^{(0)}$) [/mm] ist dann sowohl positiv als auch negativ semidefinit.
Weitere Feststellungen:
Laut Satz 20.21.3 ist es jedenfalls so, dass [mm] $\black{f}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x^{(0)}$ [/mm] ein lokales Minimum haben kann.
Ebenso ist es wegen Satz 20.21.4 auch so, dass [mm] $\black{f}$ [/mm] an [mm] $x^{(0)}$ [/mm] ein lokales Maximum haben kann.
Es kann aber auch ebensogut sein, dass nichts von beiden eintritt.
1.) Ein Beispiel zu letztgenanntem:
Betrachte einfach mal $f: [mm] \IR \to \IR$, $f(x)=x^3$. [/mm] Wie sehen hier jeweils die Jacobi- und Hessematrix aus? Welcher ist der kritische Punkt?
2.) Ein Beispiel, wo die Hessematrix an dem kritischen Punkt [mm] $x^{(0)}$ [/mm] verschwindet (und damit auch alle Eigenwerte $=0$ hat), aber [mm] $\black{f}$ [/mm] an [mm] $x^{(0)}$ [/mm] dennoch ein lokales Minimum hat:
$f: [mm] \IR \to \IR$, $f(x)=x^4$.
[/mm]
3.) Eine Funktion wie in 2.), nur dass sie an [mm] $x^{(0)}$ [/mm] ein lokales Maximum hat:
Naja, ich gebe Dir nur den Hinweis: Welche Funktionsvorschrift wurde den Graphen von [mm] $\black{f}$ [/mm] aus 2.) an der [mm] $\black{x}$-Achse [/mm] spiegeln?
Also: Wenn alle Eigenwerte $=0$ sind, bringt uns das nicht weiter. Wären allerdings alle Eigenwerte [mm] $\ge [/mm] 0$ und wenigstens einer [mm] $\black{>} [/mm] 0$, so wäre die (Hesse-)Matrix (von [mm] $\black{f}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x^{(0)}$) [/mm] positiv semidefinit und nicht negativ semidefinit, so dass wir nach Satz 20.21.3 sagen könnten, dass in diesem Falle [mm] $\black{f}$ [/mm] an [mm] $x^{(0)}$ [/mm] ein lokales Minimum haben kann (aber nicht haben muss), wir allerdings in diesem Falle wegen Satz 20.21.4 ausschließen könnten, dass [mm] $\black{f}$ [/mm] an [mm] $x^{(0)}$ [/mm] ein lokales Maximum hat.
Es ist halt wichtig, dass Du Dir klar machst:
Satz 20.21.1 und Satz 20.21.2 liefern Dir hinreichende Bedingungen dafür, dass [mm] $x^{(0)}$ [/mm] Extremstelle ist.
(Wenn das und das gilt, dann folgt: [mm] $\black{f}$ [/mm] hat an [mm] $x^{(0)}$...)
[/mm]
Satz 20.21.3 und Satz 20.21.4 liefern Dir notwendige Bedingungen für das Vorhandensein einer Extremstelle.
(Wenn [mm] $\black{f}$ [/mm] an [mm] $x^{(0)}$ [/mm] ein lokales Maximum/Minimum hat, dann folgt für die Hessematrix [mm] $H_f(x^{(0)})$:...)
[/mm]
P.S.:
Vielleicht ist für Dich auch folgender Link noch interessant:
Hessematrix, Mathepedia
Gruß,
Marcel
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Hallo,
danke für deine sehr ausführliche Erklärung!
Also die Eigenwerte der Hesse-Matrix liegen immer auf der Diagonalen und daher ist nur die Diagonale für die Extremwerte interessant? Oder stimmt das mit der Diagonalen nur, wenn die anderen Werte alle 0 sind?
Aber wenn ich als Hesse-Matrix z.B.
[mm] \pmat{ -2 & 4 \\ 4 & -2 }
[/mm]
habe, dann sind die Eigenwerte doch -6 und 2 (und daher kein lok. Extremum), auch wenn auf der Diagonalen -2 und -2 steht und damit ein lokales Max. hätte.
Liebe Grüße
sommer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:00 Mo 22.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für deine sehr ausführliche Erklärung!
>
> Also die Eigenwerte der Hesse-Matrix liegen immer auf der
> Diagonalen und daher ist nur die Diagonale für die
> Extremwerte interessant?
Wer sagt denn so etwas. Das ist doch Unfug !
FRED
Oder stimmt das mit der Diagonalen
> nur, wenn die anderen Werte alle 0 sind?
> Aber wenn ich als Hesse-Matrix z.B.
> [mm]\pmat{ -2 & 4 \\ 4 & -2 }[/mm]
> habe, dann sind die Eigenwerte
> doch -6 und 2 (und daher kein lok. Extremum), auch wenn auf
> der Diagonalen -2 und -2 steht und damit ein lokales Max.
> hätte.
>
>
> Liebe Grüße
> sommer
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Hallo,
so hat mir das ein Mitstudent erklärt...
Aber was ist denn nun wahr?
Muss ich die Eigenwerte berechnen? Also so:
> Oder stimmt das mit der Diagonalen
> > nur, wenn die anderen Werte alle 0 sind?
> > Aber wenn ich als Hesse-Matrix z.B.
> > [mm]\pmat{ -2 & 4 \\ 4 & -2 }[/mm]
> > habe, dann sind die
> Eigenwerte
> > doch -6 und 2 (und daher kein lok. Extremum), auch wenn auf
> > der Diagonalen -2 und -2 steht und damit ein lokales Max.
> > hätte.
> >
> >
Liebe Grüße
sommer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:50 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> so hat mir das ein Mitstudent erklärt...
dann hat er entweder von Spezialfällen gesprochen, oder er hat Dir einfach Unfug erzählt.
> Aber was ist denn nun wahr?
Die Wahrheit liegt darin, dass man die positiv (negativ) Definitiheit (oder Semidefinitheit) oder Indefinitheit einer Matrix anhand ihrer Eigenwerte erkennt. In Spezialfällen stimmt das natürlich mit der Diagonalen, allerdings ist das dann meist sehr speziell (zumindest erinnere ich mich da gerade nicht an Aussagen, die so schön und interessant wären, dass sie bei mir hängen geblieben wären...).
> Muss ich die Eigenwerte berechnen? Also so:
>
> > Oder stimmt das mit der Diagonalen
> > > nur, wenn die anderen Werte alle 0 sind?
> > > Aber wenn ich als Hesse-Matrix z.B.
> > > [mm]\pmat{ -2 & 4 \\ 4 & -2 }[/mm]
> > > habe, dann sind die
> > Eigenwerte
> > > doch -6 und 2 (und daher kein lok. Extremum), auch wenn auf
> > > der Diagonalen -2 und -2 steht und damit ein lokales Max.
> > > hätte.
Für den Spezialfall, dass die Hessematrix eine $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrix ist, steht eh was im Mathepedia-Link von oben. Für den allgemeinen Fall habe ich auf das Skript verwiesen. Da steht nun wirklich alles so drin, wie Du es brauchst. Ich finde es ja gut, wenn Du Dich mit Deinen Mitstudenten austauschst, aber bitte: Du sollst nicht einfach glauben, was die Dir sagen, sondern es überdenken und versuchen, nachzuvollziehen bzw., wenn sie Dir einen Bären aufbinden, die Aussage zu widerlegen. Und das mit Deinem Wissen und bisher gelernten.
Also ganz allgemein eine grobe Skizze zum errechnen von lokalen Extremstellen:
Du hast nun eine Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] gegeben. Du hast die kritischen Punkte berechnet. Nun sei [mm] $x^{(0)}$ [/mm] ein kritischer Punkt. Jetzt hast Du auch [mm] $H_f(x^{(0)})$ [/mm] berechnet, diese Matrix nenne ich mal [mm] $\black{A}$, [/mm] also [mm] $A:=H_f(x^{(0)})$. [/mm] Es stellt sich die Frage, "welche Definitheit" [mm] $\black{A}$ [/mm] vorweist.
Dazu berechnest Du die deren Eigenwerte durch Lösen der Gleichung [mm] $\det(A-\lambda [/mm] E)=0$.
Zu Eigenwerten findest Du z.B. hier etwas, und auf Seite 2 dort steht insbesondere eine Matrix, die belegt, dass man die Eigenwerte eine Matrix i.A. nicht anhand deren Diagonalen erkennt.
Es kann durchaus sein, dass ihr gewisse Aussagen habt, wann man die Eigenwerte einer Matrix anhand der Diagonalen erkennt (z.B. bei einer Diagonalmatrix, oder schau' Dir mal den Mathepedia-Link an, da steht etwas vom Spezialfall einer $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix...), aber dazu solltest Du natürlich die Aussagen bemühen und in die Voraussetzungen gucken, ob die denn gegeben sind...
Ansonsten:
Die Aussagen im Skript und den obigen Link oder Wiki mal komplett und in Ruhe durcharbeiten, und pass' auf, dass Du Deine Vermutungen, wenn Du welche hegst, entweder auch beweist, oder sie Vermutungen sein läßt, also erstmal keinerlei Bedeutungen zumißt. Der Grund, dass man in der Mathematik so viel beweist, ist eben, dass Vermutungen nicht ausreichen, um weiteres zu folgern. Erst wenn man Vermutungen bewiesen hat, sind es Tatsachen, die man weiter verwenden kann. Ein Beweis kann dann ein Zweizeiler sein (oder nur aus einem kurzen Argument bestehen), er kann sich aber durchaus auch über mehrere Seiten erstrecken.
P.S.:
Wenn man Aufgaben "kontrollieren" will, z.B. ob man die Eigenwerte einer gewissen Matrix richtig berechnet hat:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/eigenwert.htm
Gruß,
Marcel
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