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Extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:31 Mi 14.01.2009
Autor: aliaszero

Aufgabe
Ermittle die Extremerte der Funktion [mm] f(x)=\bruch{e^x}{e^x+x²} [/mm]

Hi,
für diese Aufgabe habe ich zunächst die 1. Ableitung ermittelt:
[mm] f'(x)=\bruch{e^x(x²-2x)}{(e^x+x²)²} [/mm]

Da der Nenner nicht Null sein darf, setze ich nur den Zähler gleich Null.

Jetzt komme ich allerdings nicht richtig weiter.
[mm] e^x(x²-2x)=0 [/mm] funktioniert ja nur wenn der Inhalt der Klammer Null wird, da [mm] e^x [/mm] nur gegen 0 konvergiert aber nicht gleich Null wird. Ist es Mathematisch korrekt nun nur davon auszugehen das der Klammerinhalt Null wird?

LG

        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:36 Mi 14.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo aliaszero,

> Ermittle die Extremerte der Funktion
> [mm]f(x)=\bruch{e^x}{e^x+x²}[/mm]
>  Hi,
>  für diese Aufgabe habe ich zunächst die 1. Ableitung
> ermittelt:
>  [mm]f'(x)=\bruch{e^x(x²-2x)}{(e^x+x²)²}[/mm] [ok]
>  
> Da der Nenner nicht Null sein darf, setze ich nur den
> Zähler gleich Null. [ok]
>  
> Jetzt komme ich allerdings nicht richtig weiter.
>  [mm]e^x(x²-2x)=0[/mm] funktioniert ja nur wenn der Inhalt der
> Klammer Null wird [ok] , da [mm]e^x[/mm] nur gegen 0 konvergiert aber
> nicht gleich Null wird. Ist es Mathematisch korrekt nun nur
> davon auszugehen das der Klammerinhalt Null wird?

Na klar, alles richtig argumentiert bis hierhin, nun prüfe, wann [mm] $x^2-2x=0$ [/mm] ist, um an die "Kandidaten" heranzukommen

Bedenke, dass du x ausklammern kannst ...

>  
> LG


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Extremwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:09 Mi 14.01.2009
Autor: aliaszero

hmm stimmt das ausklammern hab ich übersehen und stattdessen etwas aufwändiger mit der PQ-Formel x=2 und x=0 heraus bekommen. Mit der 2. Ableitung hatte ich dann etwas Probleme was das Zusammenfassen angeht aber für
f''(0)=-2 --> Max und
f''(2)=0,1139 --> Min
hab ich die Aufgabe soweit gelöst.

Das wären dann aber nur die lokalen Extrempunkte. Wie sieht es nun mit den globalen aus? Wie kann ich die heraus bekommen?

LG

Bezug
                        
Bezug
Extremwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:20 Mi 14.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> hmm stimmt das ausklammern hab ich übersehen und
> stattdessen etwas aufwändiger mit der PQ-Formel x=2 und x=0
> heraus bekommen. Mit der 2. Ableitung hatte ich dann etwas
> Probleme was das Zusammenfassen angeht aber für
> f''(0)=-2 --> Max und
> f''(2)=0,1139 --> Min
> hab ich die Aufgabe soweit gelöst.

Ja, das sieht gut aus.

Wie lauten also Hoch- und Tiefpunkt (Koordinaten)

>  
> Das wären dann aber nur die lokalen Extrempunkte. Wie sieht
> es nun mit den globalen aus? Wie kann ich die heraus
> bekommen?

Betrachte das Verhalten der Funktion f für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] und vergleiche mit Hoch- und Tiefpunkt ...


>
> LG


Gruß

schachuzipus

Bezug
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