Extremwerte R² < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mi 18.05.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | 1) Bestimmen Sie alle relativen Extrema der Funktion
f(x,y) = [mm] e^{-x^{2}-y^{2}}*(x^{2}-y^{2})
[/mm]
2)Untersuchen Sie, ob es sich bei den relativen Extrema sogar um globale Extrema handelt. |
Hallo zusammen,
also bei 1) habe ich partiell differenziert und gleich null gesetzt. So komme ich auf die möglichen Extremstellen (0,0) (1,0) (-1,0) (0,-1) (0,1). Wie kann ich diese nun möglichst einfach auf lokale Extrema überprüfen? Ich könnte ja die Hesse-Matrix bilden, indem ich sowohl die x-Ableitung als auch die y-Ableitung nochmal nach x bzw. y ableite (stimmt doch so oder?). Dann könnte ich die Determinate bestimmen und damit die Extremwerte überprüfen, oder? Nur ich merke, dass beim weiteren Ableiten die Terme extrem lang werden, daher wollte ich fragen, ob es eine leichtere und schnellere Methode gibt.
zu 2) Es reicht doch, wenn ich die Extrema nachgewiesen habe die Ränder zu überprüfen, und zu zeigen, dass
[mm] \limes_{x,y \rightarrow\ \pm \infty} [/mm] f(x,y) [mm] \to [/mm] 0 gilt. Oder?
|
|
| |
|
> 1) Bestimmen Sie alle relativen Extrema der Funktion
> f(x,y) = [mm]e^{-x^{2}-y^{2}}*(x^{2}-y^{2})[/mm]
>
> 2)Untersuchen Sie, ob es sich bei den relativen Extrema
> sogar um globale Extrema handelt.
> Hallo zusammen,
>
> also bei 1) habe ich partiell differenziert und gleich null
> gesetzt. So komme ich auf die möglichen Extremstellen
> (0,0) (1,0) (-1,0) (0,-1) (0,1). Wie kann ich diese nun
> möglichst einfach auf lokale Extrema überprüfen? Ich
> könnte ja die Hesse-Matrix bilden, indem ich sowohl die
> x-Ableitung als auch die y-Ableitung nochmal nach x bzw. y
> ableite (stimmt doch so oder?). Dann könnte ich die
> Determinate bestimmen und damit die Extremwerte
> überprüfen, oder? Nur ich merke, dass beim weiteren
> Ableiten die Terme extrem lang werden, daher wollte ich
> fragen, ob es eine leichtere und schnellere Methode gibt.
>
> zu 2) Es reicht doch, wenn ich die Extrema nachgewiesen
> habe die Ränder zu überprüfen, und zu zeigen, dass
> [mm]\limes_{x,y \rightarrow\ \pm \infty}[/mm] f(x,y) [mm]\to[/mm] 0 gilt.
> Oder?
Mir scheinen hier Limes- , Stetigkeits- und Vorzeichen-
Überlegungen der einfachste Weg zu sein, um die
Triage zu vollziehen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Do 19.05.2011 | | Autor: | engels |
Oke nur wie geh ich dabei vor? Ist die Limesbetrachtung aus 2) denn richtig?
Wie genau soll ich bei der Vorzeichenüberlegung und der Stetigkeit vorgehen? Könntest du das Vorgehen kurz an einem Bsp erläutern?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Oke nur wie geh ich dabei vor? Ist die Limesbetrachtung aus
> 2) denn richtig?
Ja
> Wie genau soll ich bei der Vorzeichenüberlegung und der
> Stetigkeit vorgehen? Könntest du das Vorgehen kurz an
> einem Bsp erläutern?
Nehmen wir den Punkt (0,0)
es ist $f(x,0) = [mm] e^{-x^2}x^2 [/mm] >0 =f(0,0) $ für x [mm] \ne [/mm] 0
und
es ist $f(0,y) [mm] =-e^{-y^2}y^2 [/mm] <0 =f(0,0)$ für y [mm] \ne [/mm] 0
Damit hat f in (0,0) kein Extremum
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Do 19.05.2011 | | Autor: | engels |
Also, ich hab jetzt mal die Vorzeichenüberlegungen durchgeführt, und ich wollte mal fragen, ob meine Überlegungen so korrekt sind.
1) Schnell kann ja die Achsensymmetrie nachgewiesen werden, sodass gilt: f(x,y)=f(-x,y) und f(x,y)=f(x,-y).
2) Nun überprüfe ich mal den Punkt (0,+-1):
f(0,+-1)= - [mm] \bruch{1}{e}
[/mm]
f(0,y) = [mm] -y^{2}*e^{y^{-2}} [/mm]
f(x,1) = [mm] (x^{2}-1)e^{x^{-2}-1}
[/mm]
So beides sollte doch nun > - [mm] \bruch{1}{e} [/mm] sein, wenn ein Minimum vorliegt und < - [mm] \bruch{1}{e} [/mm] sein, wenn ein Maximum vorliegt oder? Wenn ein Sattelpunkt vorliegt, so muss es einmal < und einmal > sein, wie im Beispiel.
Weil jetzt bekomm ich grade wirklich große Probleme beim Umformen und komme auf kein Ergebnis. Hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?
|
|
|
| |
|
> Also, ich hab jetzt mal die Vorzeichenüberlegungen
> durchgeführt, und ich wollte mal fragen, ob meine
> Überlegungen so korrekt sind.
>
> 1) Schnell kann ja die Achsensymmetrie nachgewiesen werden,
> sodass gilt: f(x,y)=f(-x,y) und f(x,y)=f(x,-y).
>
> 2) Nun überprüfe ich mal den Punkt (0,+-1):
(der Übersichtlichkeit halber lieber nur einen aufs Mal !)
> f(0,+-1)= - [mm]\bruch{1}{e}[/mm]
>
> f(0,y) = [mm]-y^{2}*e^{y^{-2}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
f(0,y) = [mm]-y^{2}*e^{-y^{2}}[/mm]
> f(x,1) = [mm](x^{2}-1)e^{x^{-2}-1}[/mm]
f(x,1) = [mm](x^{2}-1)e^{-x^{2}-1}[/mm]
Du könntest diese Funktionen (als Funktionen jeweils
einer Variablen) untersuchen und zeigen, dass sie an
den entscheidenden Stellen jeweils einen Extrempunkt
haben. Allerdings ist in diesem Fall (ohne andere
Überlegungen) dadurch allein nicht ein Extrem-
punkt der Funktion f (mit ihren 2 Variablen) bewiesen !
Dagegen war im Punkt (0|0) durch die Untersuchungen
in x- und in y-Richtung (mit dem Ergebnis einmal
Hochpunkt, einmal Tiefpunkt) klar, dass insgesamt
kein Extrempunkt vorliegen konnte.
> So beides sollte doch nun > - [mm]\bruch{1}{e}[/mm] sein, wenn ein
> Minimum vorliegt und < - [mm]\bruch{1}{e}[/mm] sein, wenn ein
> Maximum vorliegt oder? Wenn ein Sattelpunkt vorliegt, so
> muss es einmal < und einmal > sein, wie im Beispiel.
>
> Weil jetzt bekomm ich grade wirklich große Probleme beim
> Umformen und komme auf kein Ergebnis. Hab ich irgendwo
> einen Fehler gemacht?
Meine Idee zur Untersuchung war eine etwas andere.
Da f auf ganz [mm] \IR^2 [/mm] differenzierbar (und also auch stetig)
ist und weil
[mm] $\limes_{x^2+y^2\to\infty}f(x,y)=0$
[/mm]
muss f ein absolutes Minimum und ein absolutes Maximum
haben. Als "Kandidaten" für allfällige Extrem- und Sattelpunkte
(Punkte mit horizontaler Tangentialebene der Fläche z=f(x,y))
haben wir nur 5 Punkte erhalten. Der Nullpunkt ist aber als
Extremalstelle schon ausgeschieden (Sattel, also kein Extremum).
Übrig geblieben sind 4 weitere isolierte Punkte, davon 2 mit
dem positiven Funktionswert [mm] \frac{1}{e} [/mm] und 2 mit [mm] f(x,y)=-\frac{1}{e} [/mm] .
Nun müssen zwangsläufig die mit dem positiven Funktions-
wert absolute Hochpunkte und die mit dem negativen
Funktionswert absolute Tiefpunkte sein. Die Variante Sattel-
punkt kommt nicht mehr in Frage, da es sonst noch weitere
Punkte mit horizontaler Tangentialebene geben müsste.
Will man ohne diese "globalen" Überlegungen vorgehen,
so kann man jeden der 4 verbliebenen Kandidaten mittels
Hesse-Matrix untersuchen.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
