Extremwerte bestimmen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:14 Mi 22.03.2006 | | Autor: | krispel |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die singulären Stellen und Extremwerte der folgenden Funktionen:
f(x, y) = cos(x + y) cos(xy) |
Hallo wiedermal,
also um die kritischen Punkte aufzufinden, muss man ja den Gradienten von f=0 setzen
Ich habe meine Funktion bereits nach x und y abgeleitet, komme aber nun beim Lösen der Gleichung einfach nicht weiter:
fx = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * y = 0
fy = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * x = 0
Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 Mi 22.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Bestimmen Sie die singulären Stellen und Extremwerte der
> folgenden Funktionen:
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> f(x, y) = cos(x + y) cos(xy)
> Hallo wiedermal,
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> also um die kritischen Punkte aufzufinden, muss man ja den
> Gradienten von f=0 setzen
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> Ich habe meine Funktion bereits nach x und y abgeleitet,
> komme aber nun beim Lösen der Gleichung einfach nicht
> weiter:
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> fx = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * y = 0
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> fy = -sin(x+y) * cos(xy) + cos(x+y) * (-sin(xy)) * x = 0
Da beide $0$ sein sollen kannst du sie ja erstmal gleichsetzen. Dann ergibt sich [mm] $\cos(x [/mm] + y) [mm] \sin(x [/mm] y) (x - y) = 0$. Also ist entweder (i) [mm] $\cos(x [/mm] + y) = 0$, (ii) [mm] $\sin(x [/mm] y) = 0$ oder (iii) $x = y$.
Zu (i): Dann ist [mm] $\sin(x [/mm] + y) = [mm] \pm [/mm] 1$, womit [mm] $\cos(xy) [/mm] = 0$ sein muss. Du hast also die Gleichungen $x + y - [mm] \pi/2 \in \pi\IZ$ [/mm] und $x y - [mm] \pi/2 \in \pi\IZ$. [/mm] (Und alle Loesungen davon erfuellen $fx = 0 = fy$.)
Zu (ii): Dann ist [mm] $\cos(x [/mm] y) = [mm] \pm [/mm] 1$, womit [mm] $\sin(x [/mm] + y) = 0$ sein muss. Du hast also die Gleichungen $x + y [mm] \in \pi\IZ$ [/mm] und $x y [mm] \in \pi\IZ$. [/mm] (Und alle Loesungen davon erfuellen $fx = 0 = fy$.)
Jetzt kannst du schonmal alle Paare $(x, y)$ angeben, die die Gleichungen in (i) oder (ii) erfuellen.
Zu (iii): Es ist $-fx = -fy = [mm] \sin(2 [/mm] x) [mm] \cos(x^2) [/mm] + [mm] \cos(2 [/mm] x) [mm] \sin(x^2) [/mm] x$. Vielleicht kannst du hier ein wenig mit den Additionstheoremen machen...
HTH & LG Felix
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