Extremwerte einer Exp-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Extremwerte von f und das Verhalten für x [mm] \to \pm \infty [/mm] |
Hallo Zusammen,
f'(x) = [mm] e^{x} [/mm] - [mm] 2e^{-2x}
[/mm]
f''(x) = [mm] e^{x} +4e^{-2x}
[/mm]
Extremstelle: x= [mm] \bruch{1}{3}ln(2)
[/mm]
Bis hierhin habe ich alles verstanden. Dann steht aber laut Lösungsbuch:
[mm] f''(\bruch{1}{3}ln(2))=3*\wurzel[3]{2}>0 [/mm]
Wie kommt man denn auf [mm] 3*\wurzel[3]{2}? [/mm] Wie formt man da um?
Danke im Voraus.
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Hallo matherein,
> Bestimmen Sie die Extremwerte von f und das Verhalten für
> x [mm]\to \pm \infty[/mm]
> Hallo Zusammen,
>
> f'(x) = [mm]e^{x}[/mm] - [mm]2e^{-2x}[/mm]
> f''(x) = [mm]e^{x} +4e^{-2x}[/mm]
> Extremstelle: x=
> [mm]\bruch{1}{3}ln(2)[/mm]
> Bis hierhin habe ich alles verstanden. Dann steht aber
> laut Lösungsbuch:
> [mm]f''(\bruch{1}{3}ln(2))=3*\wurzel[3]{2}>0[/mm]
> Wie kommt man denn auf [mm]3*\wurzel[3]{2}?[/mm] Wie formt man da
> um?
Ich nehme an, die Funktion f lautet [mm] $f(x)=e^x+e^{-2x}$ [/mm] ?
Nun die NST der 1. Ableitung ist richtig, das in die 2.Ableitung eingesetzt, ergibt:
[mm] $e^{\frac{1}{3}\ln(2)}+4\cdot{}e^{-\frac{2}{3}\ln(2)}=\left(e^{\ln(2)}\right)^{\frac{1}{3}}+4\cdot{}\left(e^{\ln(2)}\right)^{-\frac{2}{3}}$
[/mm]
[mm] $=2^{\frac{1}{3}}+\blue{4}\cdot{}2^{-\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{3}}+\blue{2^2}\cdot{}2^{-\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{3}}+\blue{2^{\frac{6}{3}}}\cdot{}2^{-\frac{2}{3}}$
[/mm]
[mm] $=2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{1}{3}}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^4=2^{\frac{1}{3}}\cdot{}\left[1+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3\right]=\sqrt[3]{2}\cdot{}\left(1+2^{\frac{3}{3}}\right)=3\cdot{}\sqrt[3]{2}$
[/mm]
>
> Danke im Voraus.
>
>
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:11 Di 28.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo matherein,
>
> > Bestimmen Sie die Extremwerte von f und das Verhalten für
> > x [mm]\to \pm \infty[/mm]
> > Hallo Zusammen,
> >
> > f'(x) = [mm]e^{x}[/mm] - [mm]2e^{-2x}[/mm]
> > f''(x) = [mm]e^{x} +4e^{-2x}[/mm]
> > Extremstelle: x=
> > [mm]\bruch{1}{3}ln(2)[/mm]
> > Bis hierhin habe ich alles verstanden. Dann steht aber
> > laut Lösungsbuch:
> > [mm]f''(\bruch{1}{3}ln(2))=3*\wurzel[3]{2}>0[/mm]
> > Wie kommt man denn auf [mm]3*\wurzel[3]{2}?[/mm] Wie formt man da
> > um?
>
> Ich nehme an, die Funktion f lautet [mm]f(x)=e^x+e^{-2x}[/mm] ?
>
> Nun die NST der 1. Ableitung ist richtig, das in die
> 2.Ableitung eingesetzt, ergibt:
>
> [mm]e^{\frac{1}{3}\ln(2)}+4\cdot{}e^{-\frac{2}{3}\ln(2)}=\left(e^{\ln(2)}\right)^{\frac{1}{3}}+4\cdot{}\left(e^{\ln(2)}\right)^{-\frac{2}{3}}[/mm]
>
> [mm]=2^{\frac{1}{3}}+\blue{4}\cdot{}2^{-\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{3}}+\blue{2^2}\cdot{}2^{-\frac{2}{3}}=2^{\frac{1}{3}}+\blue{2^{\frac{6}{3}}}\cdot{}2^{-\frac{2}{3}}[/mm]
>
> [mm]=2^{\frac{1}{3}}+2^{\frac{4}{3}}=2^{\frac{1}{3}}+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^4=2^{\frac{1}{3}}\cdot{}\left[1+\left(2^{\frac{1}{3}}\right)^3\right]=\sqrt[3]{2}\cdot{}\left(1+2^{\frac{3}{3}}\right)=3\cdot{}\sqrt[3]{2}[/mm]
>
Für den Fall, dass dein Verständnisproblem schon in Umformungen wie [mm] e^{\frac{1}{3}\ln(2)}=\wurzel[3]{2} [/mm] liegt: Es ist nach Logarithmengesetzen [mm] \frac{1}{3}\ln(2)=\ln(2^{\frac{1}{3}}) [/mm] und deshalb [mm] e^{\frac{1}{3}\ln(2)}=e^{\ln(2^{\frac{1}{3}})} [/mm] (und letzteres ist [mm] 2^{\frac{1}{3}} [/mm] und damit [mm] \wurzel[3]{2}).
[/mm]
Gruß Abakus
>
> >
> > Danke im Voraus.
> >
> >
>
> LG
>
> schachuzipus
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Danke für die Antwort. Habe ich verstanden. Stimmt, ich habe vergessen die Funktionsgleichung f(x) = [mm] e^x+e^{-2x} [/mm] anzugeben.
Wenn ich jetzt aber [mm] \bruch{1}{3}ln(2) [/mm] in f(x) [mm] e^x+e^{-2x} [/mm] einsetze, kommt nach meiner Rechnung raus:
[mm] e^{\bruch{1}{3}ln(2)} [/mm] + [mm] e^{-2*\bruch{1}{3}ln(2)}
[/mm]
[mm] \left(e^{\ln(2)}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(e^{\ln(2)}\right)^{-\frac{2}{3}}
[/mm]
[mm] 2\bruch{1}{3}+2\bruch{-2}{3}
[/mm]
[mm] 2\bruch{1}{3}+(2\bruch{1}{3})^{-2}
[/mm]
Wie löse ich weiter auf, um auf das im Lösungsbuch angegebene Ergebnis
1,889 zu kommen?
Danke für die Mühe im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:09 Di 28.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Danke für die Antwort. Habe ich verstanden. Stimmt, ich
> habe vergessen die Funktionsgleichung f(x) = [mm]e^x+e^{-2x}[/mm]
> anzugeben.
>
> Wenn ich jetzt aber [mm]\bruch{1}{3}ln(2)[/mm] in f(x) [mm]e^x+e^{-2x}[/mm]
> einsetze, kommt nach meiner Rechnung raus:
> [mm]e^{\bruch{1}{3}ln(2)}[/mm] + [mm]e^{-2*\bruch{1}{3}ln(2)}[/mm]
>
> [mm]\left(e^{\ln(2)}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(e^{\ln(2)}\right)^{-\frac{2}{3}}[/mm]
> [mm]2\bruch{1}{3}+2\bruch{-2}{3}[/mm]
>
> [mm]2\bruch{1}{3}+(2\bruch{1}{3})^{-2}[/mm]
> Wie löse ich weiter auf, um auf das im Lösungsbuch
> angegebene Ergebnis
> 1,889 zu kommen?
Das passt so nicht, denn:
[mm] 2\bruch{1}{3}+\left(2\bruch{1}{3}\right)^{-2}
[/mm]
[mm] =\bruch{7}{3}+\left(\bruch{7}{3}\right)^{-2}
[/mm]
[mm] =\bruch{7}{3}+\bruch{1}{\left(\bruch{7}{3}\right)^{\red{+}2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{7}{3}+\bruch{1}{\bruch{49}{9}}
[/mm]
[mm] =\bruch{7}{3}+\bruch{9}{49}
[/mm]
[mm] =\bruch{343}{147}+\bruch{27}{147}
[/mm]
[mm] =\bruch{370}{147}
[/mm]
[mm] \approx2,517
[/mm]
Dein Fehler ist vorher:
[mm] e^{\bruch{1}{3}\ln(2)}+e^{-2*\bruch{1}{3}\ln(2)}
[/mm]
[mm] =e^{\ln\left(2^{\bruch{1}{3}}\right)}+e^{\ln\left(2^{-\bruch{2}{3}}\right)}
[/mm]
[mm] =2^{\bruch{1}{3}}+2^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
[mm] =2^{\bruch{1}{3}}+2^{-\bruch{2}{3}}
[/mm]
Kommst du damit jetzt auf das Ergebnis?
>
> Danke für die Mühe im Voraus!
Marius
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Hallo Marius,
ich wollte doch nur ne Mitteilung schreiben und habe mich verklickt und deine Antwort zu ner Mitteilung gemacht ![[heul]](/images/smileys/heul.gif "[heul]")
Ich hoffe, nun ist wieder alles richtig ...
Ich denke, matherein hat die Umformung schon richtig gemacht, nur am Ende das nicht als Exponent geschrieben ...
@matherein:
Hier [mm] $2^{\frac{1}{3}}+2^{-\frac{2}{3}}$ [/mm] kommst du weiter, wenn du mal [mm] $2^{\frac{1}{3}}$ [/mm] ausklammerst, dann kannst du auch ein schöneres als das olle gerundete Ergebnis angeben ...
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus,
ich wollte auch ausklammern, aber ich weiß nicht wie...
es muss doch etwa so aussehen: [mm] 2\bruch{1}{3}(1+?)
[/mm]
Was kommt für das x hin?
matherein
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Di 28.07.2009 | | Autor: | xPae |
Hi,
> Hallo schachuzipus,
Moin,
> ich wollte auch ausklammern, aber ich weiß nicht wie...
> es muss doch etwa so aussehen: [mm]2\bruch{1}{3}(1+?)[/mm]
> Was kommt für das x hin?
>
> matherein
=>
[mm] =2^{\bruch{1}{3}}*(1+2^{\bruch{-3}{3}})=2^{\bruch{1}{3}}*(1+2^{-1})=2^{\bruch{1}{3}}*(1+\bruch{1}{2})=...
[/mm]
Du hättest es selbst ganz einfach durch die Gleichung:
[mm] 2^{\bruch{1}{3}}*x=2^{\bruch{-2}{3}} [/mm] löse können.
Schaue Dir andernfalls die Exponentenregeln nochmal an.
Lg xPae
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Mi 29.07.2009 | | Autor: | matherein |
Danke für die Antwort xPae und für den Hinweis mit den Exponentenregeln.
Gruß
matherein
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