Extremwerte in einer Sphäre < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Fr 13.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Auf der Einheitssphäre [mm] S^2=\left\{ (x,y,z):x^2+y^2+z^2=1 \right\} [/mm] sei eine Temperaturverteilung [mm] T:S^2 \rightarrow \IR [/mm] gegeben durch T(x,y,z)=20+18xyz.
a)Wo auf der Sphäre ist es am wärmsten, wo am kühlsten? Wie groß sind die extremalen Temperaturen?
b)Wo liegen die höchsten und niedrigsten Temperaturen auf dem 30° östlicher Länge (wenn man die Kugeloberfläche mit einem Gradnetz analog zur Erde überzieht und der 0. Längengrad in der xz-Ebene, [mm] x\ge0 [/mm] liegt)? |
Zu a.)
Hauptfunktion: t(x,y,z)=20+18*x*y*z
Nebenbedingung: [mm] x^2+y^2+z^2=1
[/mm]
Nach Lagrange folgt:
[mm] L(x,y,z)=20+18*x*y*z+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)
[/mm]
[mm] L_x=18yz+2\lambda*x=0 \gdw 9yz+\lambda*x=0 \gdw \lambda=(-9)*\left( \bruch{yz}{x} \right)
[/mm]
[mm] L_y=18xz+2\lambda*y=0 \gdw 9xz+\lambda*y=0 \gdw \lambda=(-9)*\left( \bruch{xz}{y} \right)
[/mm]
[mm] L_Z=18xy+2\lambda*z=0 \gdw 9xy+\lambda*z=0 \gdw \lambda=(-9)*\left( \bruch{xy}{z} \right)
[/mm]
[mm] L_{\lambda}=x^2+y^2+z^2=1
[/mm]
Also: [mm] (-9)*\left( \bruch{yz}{x} \right)=(-9)*\left( \bruch{xz}{y} \right)=(-9)*\left( \bruch{xy}{z} \right)
[/mm]
und somit: [mm] x^2=y^2=z^2
[/mm]
In [mm] L_{\lambda} [/mm] eingesetzt: [mm] x^2+y^2+z^2=3*x^2=1 \Rightarrow x=y=z=\pm\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)}
[/mm]
Ist das erstmal soweit richtig?
Zu b) Wie bekomme ich die 30° in meine Funktion?
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Hallo DerGraf,
> Auf der Einheitssphäre [mm]S^2=\left\{ (x,y,z):x^2+y^2+z^2=1 \right\}[/mm]
> sei eine Temperaturverteilung [mm]T:S^2 \rightarrow \IR[/mm] gegeben
> durch T(x,y,z)=20+18xyz.
>
> a)Wo auf der Sphäre ist es am wärmsten, wo am kühlsten? Wie
> groß sind die extremalen Temperaturen?
>
> b)Wo liegen die höchsten und niedrigsten Temperaturen auf
> dem 30° östlicher Länge (wenn man die Kugeloberfläche mit
> einem Gradnetz analog zur Erde überzieht und der 0.
> Längengrad in der xz-Ebene, [mm]x\ge0[/mm] liegt)?
> Zu a.)
>
> Hauptfunktion: t(x,y,z)=20+18*x*y*z
> Nebenbedingung: [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]
>
> Nach Lagrange folgt:
>
> [mm]L(x,y,z)=20+18*x*y*z+\lambda(x^2+y^2+z^2-1)[/mm]
>
> [mm]L_x=18yz+2\lambda*x=0 \gdw 9yz+\lambda*x=0 \gdw \lambda=(-9)*\left( \bruch{yz}{x} \right)[/mm]
>
> [mm]L_y=18xz+2\lambda*y=0 \gdw 9xz+\lambda*y=0 \gdw \lambda=(-9)*\left( \bruch{xz}{y} \right)[/mm]
>
> [mm]L_Z=18xy+2\lambda*z=0 \gdw 9xy+\lambda*z=0 \gdw \lambda=(-9)*\left( \bruch{xy}{z} \right)[/mm]
>
> [mm]L_{\lambda}=x^2+y^2+z^2=1[/mm]
>
> Also: [mm](-9)*\left( \bruch{yz}{x} \right)=(-9)*\left( \bruch{xz}{y} \right)=(-9)*\left( \bruch{xy}{z} \right)[/mm]
>
> und somit: [mm]x^2=y^2=z^2[/mm]
>
> In [mm]L_{\lambda}[/mm] eingesetzt: [mm]x^2+y^2+z^2=3*x^2=1 \Rightarrow x=y=z=\pm\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)}[/mm]
>
> Ist das erstmal soweit richtig?
Die Lösungen stimmen soweit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ich bekomme darüber hinaus noch andere Lösungen.
>
> Zu b) Wie bekomme ich die 30° in meine Funktion?
>
Schätzungsweise mußt Du da eine Drehung eines Einheitsvektors durchführen.
Und dann wird das wohl eine andere Extremwertaufgabe sein.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:35 Fr 13.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine Antwort. Für [mm] \lambda=0 [/mm] sind (1,0,0),(0,1,0) und (0,0,1) noch möglich. Sind das jetzt alle?
zu b) Wie drehe ich meinen Vektor?
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Hallo DerGraf,
> Danke für deine Antwort. Für [mm]\lambda=0[/mm] sind (1,0,0),(0,1,0)
> und (0,0,1) noch möglich. Sind das jetzt alle?
Natürlich gibt es noch die korrespondierenden Werte für [mm]\lambda=0[/mm]:
[mm]\left(-1,0,0\right), \ \left(0,-1,0\right), \ \left(0,0,-1\right)[/mm]
Dies sind aber jetzt alle Lösungen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Fr 13.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Für [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] erhalte ich 20° als Lösungen,
für [mm] \begin{pmatrix} \wurzel{\left(\bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix} [/mm] erhalte ich 23,46°und
für [mm] \begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix} [/mm] 16,54°.
Zu b) Wie führt man so eine Drehung durch?
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Hallo DerGraf,
> Für [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] erhalte ich
> 20° als Lösungen,
>
> für [mm] \begin{pmatrix} \wurzel{\left(\bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}[/mm]
> erhalte ich 23,46°und
>
> für [mm]\begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ \wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix} -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \\ -\wurzel{\left( \bruch{1}{3} \right)} \end{pmatrix}[/mm]
> 16,54°.
>
> Zu b) Wie führt man so eine Drehung durch?
Führe die notwendige Drehung in der xy-Ebene durch. Dazu bestimmst Du nur die vorhandenen Koordinaten bezüglich des xy-Koordinatensystems und bestimmst die neuen Koordinaten mit Hilfe dieser Drehung neu.
Siehe auch: ![[]](/images/popup.gif) Drehmatrix
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Fr 13.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Soll ich meine Punkte damit verschieben?
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Hallo DerGraf,
> Soll ich meine Punkte damit verschieben?
Ich habe ja schon geschrieben, dass Teilaufgabe b) dann wohl eine ganz andere Extremwertaufgabe ist.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Fr 13.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Wie drehe ich eine Funktion mit einer Matrix?
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Hallo DerGraf,
> Wie drehe ich eine Funktion mit einer Matrix?
Hmm. Ich versteh nicht warum Du gerade eine Funktion drehen willst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 13.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Was soll ich dann drehen?
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Hallo DerGraf,
> Was soll ich dann drehen?
Die Drehung findet statt, in der x-y-Ebene.
Hier hast Du die beiden Einheitsvektoren [mm]e_{1}=\pmat{1 \\ 0 \\ 0}, \ e_{2}=\pmat{0 \\ 1 \\ 0}[/mm].
Ein beliebiger Vektor [mm]x=u*e_{1}+v*e_{2}[/mm] hat bezüglich dieser Ebene die Koordinaten [mm]\pmat{u \\ v}[/mm]. Diese Koordinaten sind nun um [mm]30^{\circ}[/mm] zu drehen.
Dies kannst Du selbst herleiten, oder Du nimmst eine fertige Formel.
Dann ergibt sich der gedrehte Einheitsvektor [mm]\tilde{e_{1}}=u'*e_{1}+v'e_{2}[/mm]
Somit lautet die Darstellung dieses Kreises:
[mm]\pmat{x \\ y \\ z}=\cos\left(\varphi\right)*\pmat{u' \\ v' \\ 0}+\sin\left(\varphi\right)*\pmat{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Fr 13.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für deine Antwort, aber ich habe immernoch ein paar Fragen.
1.) Ich drehe doch eigentlich auf der xz-Ebene.
2.) Wie komme ich von einer Drehungsmatrix zu dem einfachen
Kosinuns und Sinuns als Faktor?
3.) Wie bekomme ich mein u und v?
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Hallo DerGraf,
> Vielen Dank für deine Antwort, aber ich habe immernoch ein
> paar Fragen.
>
> 1.) Ich drehe doch eigentlich auf der xz-Ebene.
Lies Dir das mal durch: Längengrad
> 2.) Wie komme ich von einer Drehungsmatrix zu dem
> einfachen
> Kosinuns und Sinuns als Faktor?
In der Drehmatrix stehen doch nur Kosinus und Sinus.
> 3.) Wie bekomme ich mein u und v?
Die Koordinaten u und v sind allgemein für einen Vektor [mm]x=u*e_{1}+v*e_{2}[/mm]
Nach dem Du die neuen Koordinaten [mm]u', \ v'[/mm] ermittelt hast, kannst Du u und v festlegen. Es gilt nämlich [mm]e_{1}=1*e_{1}+0*e_{2}[/mm].
Hieraus ergeben sich u=1, v=0.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:59 Sa 14.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=cos(30°)* \begin{pmatrix} u^{'} \\ v^{'} \\ 0 \end{pmatrix}+sin(30°)* \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Eingesetzt in meine gegebenen Gleichungen ergibt das:
[mm] L(u^{'},v^{'})=20+18*u^{'}*cos(30°)*v^{'}*cos(30°)*sin(30°)+\lambda*((u^{'}*cos(30°))^2+(v^{'}*cos(30°))^2+(sin(30°))^2-1)
[/mm]
[mm] =20+6,75*u^{'}*v^{'}+\lambda(0,75*(u^{'})^2+0,75*(v^{'})^2-0,75)
[/mm]
Stimmt das so?
Danke,dass du dich die ganze Nacht so mit mir befasst hast. Ich war gestern einfach zu müde um noch zu reagieren. Ich würde mich aber freuen, wenn du mir heute weiter hilfst.
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Hallo DerGraf,
> [mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=cos(30°)* \begin{pmatrix} u^{'} \\ v^{'} \\ 0 \end{pmatrix}+sin(30°)* \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
Wenn da ein [mm]\varphi[/mm] stünde, dann stimmt das.
[mm] \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=cos(\varphi)* \begin{pmatrix} u^{'} \\ v^{'} \\ 0 \end{pmatrix}+sin(\varphi)* \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
,wobei [mm]\varphi \in \left[-\bruch{\pi}{2},+\bruch{\pi}{2}\right][/mm]
>
> Eingesetzt in meine gegebenen Gleichungen ergibt das:
>
> [mm]L(u^{'},v^{'})=20+18*u^{'}*cos(30°)*v^{'}*cos(30°)*sin(30°)+\lambda*((u^{'}*cos(30°))^2+(v^{'}*cos(30°))^2+(sin(30°))^2-1)[/mm]
Ausserdem kannst Du [mm]u', \ v'[/mm] explizit angeben.
Denn es gilt [mm]e_{1}=1*e_{1}+0*e_{2}=u*e_{1}+v*e_{2} \Rightarrow u=1, \ v=0[/mm]
Also kann man das so ausdrücken:
[mm]\pmat{u' \\ v'}=D*\pmat{u \\ v} \Rightarrow \pmat{u' \\ v'} = D*\pmat{1 \\ 0}[/mm]
,wobei D die Drehmatrix ist.
>
> [mm]=20+6,75*u^{'}*v^{'}+\lambda(0,75*(u^{'})^2+0,75*(v^{'})^2-0,75)[/mm]
>
> Stimmt das so?
>
> Danke,dass du dich die ganze Nacht so mit mir befasst hast.
> Ich war gestern einfach zu müde um noch zu reagieren. Ich
> würde mich aber freuen, wenn du mir heute weiter hilfst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Sa 14.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich setze für x,y und z also die neuen Ausdrücke mit [mm] \varphi [/mm] als einziger Variablen ein.
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Hallo DerGraf,
> Ich setze für x,y und z also die neuen Ausdrücke mit
> [mm]\varphi[/mm] als einziger Variablen ein.
So isses.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Sa 14.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Ich habe für u 1 und für v 0 eingesetzt, wie du gesagt hast und mit der Drehmatrix [mm] u^{'}=\left( \bruch{\wurzel{3}}{2} \right) [/mm] und für [mm] v^{'}=\left( \bruch{1}{2} \right) [/mm] als Ergebnis bekommen. Diese hab ich dann in deine Gleichung eingesetzt und für die neue Extremwertaufgabe [mm] \varphi=0,615 [/mm] und [mm] \varphi=\left( \bruch{\pi}{2} \right) [/mm] rausbekommen. Damit hab ich ein Minimum bei (0,0,1) mit 20°C für [mm] \varphi=\left( \bruch{\pi}{2} \right) [/mm] und ein Maximum bei (0,71, 0,41, 0,58) mit 22,66°C für [mm] \varphi=0,615. [/mm] Ist das jetzt so richtig?
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Hallo DerGraf,
> Ich habe für u 1 und für v 0 eingesetzt, wie du gesagt hast
> und mit der Drehmatrix [mm]u^{'}=\left( \bruch{\wurzel{3}}{2} \right)[/mm]
> und für [mm]v^{'}=\left( \bruch{1}{2} \right)[/mm] als Ergebnis
> bekommen. Diese hab ich dann in deine Gleichung eingesetzt
> und für die neue Extremwertaufgabe [mm]\varphi=0,615[/mm] und
> [mm]\varphi=\left( \bruch{\pi}{2} \right)[/mm] rausbekommen. Damit
> hab ich ein Minimum bei (0,0,1) mit 20°C für [mm]\varphi=\left( \bruch{\pi}{2} \right)[/mm]
> und ein Maximum bei (0,71, 0,41, 0,58) mit 22,66°C für
> [mm]\varphi=0,615.[/mm] Ist das jetzt so richtig?
Ja.
Rechnet man hier exakt, so ergibt sich:
[mm]\varphi=\arccos\left(\wurzel{\bruch{2}{3}}\right) : x=\bruch{\wurzel{2}}{2}, \ y= \bruch{\wurzel{2}}{2\wurzel{3}},\ z=\bruch{1}{\wurzel{3}}\Rightarrow T\left(x,y,z\right)=23^{\circ}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:52 Sa 14.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine Hilfe und deine Geduld. Alleine hätte ich wohl nie diese Aufgabe meistern können :)
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Hallo DerGraf,
du kannst die Aufgabe b auch auf eine ganz "normale"
(eindimensionale) Extremwertaufgabe reduzieren.
Mach dir eine Zeichnung in der x-y-Ebene (das ist quasi
der Blick aus einem hoch über dem Nordpol befindlichen
Satelliten auf die Nordhalbkugel der Erde).
Die Projektion des Nullmeridians liegt auf der positiven
x-Achse; jene des Meridians 30°Ost auf dem Strahl
[mm]\ y=\ tan(30°)*x\ =\ \bruch{x}{\wurzel{3}}\quad (x\ge 0)[/mm] ,
der mit der x-Achse den Winkel 30° einschliesst.
Nun kannst du die y- und z-Koordinaten eines beliebigen
auf diesem Meridian liegenden Punktes P(x,y,z) durch
das x ausdrücken; dabei gibt's natürlich für z stets 2
Werte (einen positiven und einen negativen).
Falls du diese Zweideutigkeit von vornherein vermeiden
willst, dann nimm z oder eventuell den Winkel [mm] \theta [/mm] der geo-
grafischen Breite als die Hauptvariable und drücke
x und y mittels z bzw. [mm] \theta [/mm] aus !
Auf diese Weise kommst du zu einer Extremwertaufgabe
mit einer einzigen Variablen, die recht leicht zu lösen
ist...
LG Al-Chwarizmi
P.S.: der letzte Vorschlag (mit dem Winkel [mm] \theta) [/mm] bedeutet
natürlich nichts anderes, als Kugelkoordinaten einzuführen !
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 14.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine Hilfe. Die Erklärung ist erstmal schön anschaulich.
Nur noch mal zum Verständnis: x bleibt, [mm] y=x/\wurzel{3} [/mm] udn z bleibt als weitere Variable meines Kreises (oder besser Halbkreises). Wenn ich das auflöse erhaalte ich 2 z_Werte, von denen aber nur einer auf dem 30° Grad liegt und der andere auf dem 210°. Für mich ist dann der positive richtig oder?
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> Danke für deine Hilfe. Die Erklärung ist erstmal schön
> anschaulich.
>
> Nur noch mal zum Verständnis: x bleibt, [mm]y=x/\wurzel{3}[/mm] und
> z bleibt als weitere Variable meines Kreises (oder besser
> Halbkreises). Wenn ich das auflöse erhalte ich 2 z_Werte,
> von denen aber nur einer auf dem 30° Grad liegt und der
> andere auf dem 210°. Für mich ist dann der positive richtig
> oder?
Nein, beide sind gültig; beachte aber dass x [mm] \ge [/mm] 0 sein muss.
Ein kleines Zahlenbeispiel wäre:
[mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] ; y= [mm] \bruch{1}{2*\wurzel{3}} [/mm] ; [mm] z=±\wurzel{1-x^2-y^2}=±\wurzel{1-\bruch{1}{4}-\bruch{1}{12}}=±\wurzel{\bruch{2}{3}}
[/mm]
Im Punkt mit dem positiven z (auf der Nordhalbkugel)
hätten wir eine "Temperatur" T=22.12, im Punkt mit dem
negativen z ist T=17.88.
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Sa 14.06.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank euch beiden. Ich glaub, jetzt hab ich es verstanden.
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