Extremwerte mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Do 22.06.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Man bestimme die Extremwerte von xy unter der Nebenbedingung x²+y²=1. Man formuliere auch das n-dim Analogon. |
HI liebe Math-friends!
Hab versucht diese Aufgabe nach folgendem Satz aus einem Buch zu lösen:
Es sei f: U -> R stetig diffbar. Ist dann [mm] x_0 \in [/mm] S ein lokaler Extremwert von f auf S, so gibt es Zahlen [mm] \lambda_1,..., \lambda_k, [/mm] so dass
grad f [mm] (x_0) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{k} \lambda_i [/mm] grad [mm] F_i (x_0).
[/mm]
also f(x,y) = xy und F(x,y)= x²+y²-1 mit F(x,y) =0.
nach der formel von oben bekomm ich diese Gleichungen:
y = 2 [mm] \lambda
[/mm]
x = 2 [mm] \lambda [/mm] und
2x+2y-1= 0
gelöst: [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x = [mm] \bruch{1}{4}=y
[/mm]
stimmt das soweit?
jetzt weiß ich nur nicht, wie ich rausbekomm ob es ein Max oder Min ist??
In der VL haben wir aufgeschrieben, dass das Maximum von f bei einem Eigenvektor zum größten Eigenwert angenommen wird beim Min zum kleinsten.
Nur leider versteh ich nicht, von welcher Matrix ich die EW berechnen muss? wir haben das so kompliziert aufgeschrieben, ist das die Funktionalmatrix?
wir haben das mit den Extrema und nebenbedingungen sowieso ganz anders gemacht:
"Sei U aus [mm] R^n [/mm] offen und seien f: U -> R und [mm] f_i: [/mm] U->R (i=1,...r) stetig diffbaer Fkt. Sei M = {x [mm] \in [/mm] U: [mm] f_1(x)=...)f_r(x)=0}.
[/mm]
Ist a [mm] \in [/mm] M ein Punkt, an dem die Funktion f einen relativen Extremwert annimmt, so ist entweder der Rang der Funktionalmatrix [mm] (\bruch{df_i}{dx_k}(a) [/mm] ) kleiner als r oder:
es gibt Konstanten [mm] \lambda_i [/mm] mit der Eigenschaft, dass für die Funktion
F=f - [mm] \summe_{i=1}^{r} \lambda_i f_i [/mm] die Gleichungen [mm] \bruch{dF}{dx_k}(a)=0 [/mm] gelten."
Wie kommt man auf diese Gleichung F und f und was bedeutet sie??
Vor allem weiß ich nicht wie ich den Satz konkret anweden kann um Extrema zu bestimmen, bzw wie das mit der Def zusammehängt die ich in dem Buch gefunden hab??? ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Wär echt super, wenn ihr mir jemand weiterhelfen würde...
viele grüße
riley
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Hallo Riley,
> Man bestimme die Extremwerte von xy unter der
> Nebenbedingung x²+y²=1. Man formuliere auch das n-dim
> Analogon.
> HI liebe Math-friends!
> Hab versucht diese Aufgabe nach folgendem Satz aus einem
> Buch zu lösen:
> Es sei f: U -> R stetig diffbar. Ist dann [mm]x_0 \in[/mm] S ein
> lokaler Extremwert von f auf S, so gibt es Zahlen
> [mm]\lambda_1,..., \lambda_k,[/mm] so dass
> grad f [mm](x_0)[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{k} \lambda_i[/mm] grad [mm]F_i (x_0).[/mm]
>
> also f(x,y) = xy und F(x,y)= x²+y²-1 mit F(x,y) =0.
> nach der formel von oben bekomm ich diese Gleichungen:
> y = 2 [mm]\lambda[/mm]
> x = 2 [mm]\lambda[/mm] und
> 2x+2y-1= 0
Hier hätte ich für gradF was anderes.
> gelöst: [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{1}{8}[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] x = [mm]\bruch{1}{4}=y[/mm]
>
> stimmt das soweit?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Weil das nicht auf dem Kreis liegt.
> jetzt weiß ich nur nicht, wie ich rausbekomm ob es ein Max
> oder Min ist??
Das bekommt man auch mit ![[]](/images/popup.gif) Lagrange-Multiplikator nicht heraus. steht ja auch bei deinem Buch und Vorlesungszitat nichts dazu da.
> In der VL haben wir aufgeschrieben, dass das Maximum von f
> bei einem Eigenvektor zum größten Eigenwert angenommen wird
> beim Min zum kleinsten.
> Nur leider versteh ich nicht, von welcher Matrix ich die
> EW berechnen muss? wir haben das so kompliziert
> aufgeschrieben, ist das die Funktionalmatrix?
![[bahnhof]](/images/smileys/bahnhof.gif "[bahnhof]") Hier sehe ich keinen Zusammenhang.
> wir haben das mit den Extrema und nebenbedingungen sowieso
> ganz anders gemacht:
> "Sei U aus [mm]R^n[/mm] offen und seien f: U -> R und [mm]f_i:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U->R
> (i=1,...r) stetig diffbaer Fkt. Sei M = {x [mm]\in[/mm] U:
> [mm]f_1(x)=...)f_r(x)=0}.[/mm]
> Ist a [mm]\in[/mm] M ein Punkt, an dem die Funktion f einen
> relativen Extremwert annimmt, so ist entweder der Rang der
> Funktionalmatrix [mm](\bruch{df_i}{dx_k}(a)[/mm] ) kleiner als r
> oder:
> es gibt Konstanten [mm]\lambda_i[/mm] mit der Eigenschaft, dass für
> die Funktion
> F=f - [mm]\summe_{i=1}^{r} \lambda_i f_i[/mm] die Gleichungen
> [mm]\bruch{dF}{dx_k}(a)=0[/mm] gelten."
> Wie kommt man auf diese Gleichung F und f und was bedeutet
> sie??
Das ist genau das gleiche wie oben. Nur die Bezeichnungen sind ein wenig anders.
viele grüße
matheamduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Fr 07.07.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Mathemaduenn!
danke für deine antwort!
ohja, habs nochmal versucht:
komm dann auf:
y - 2 [mm] \lambda [/mm] x = 0
x - 2 [mm] \lambda [/mm] y = 0
x²+y² -1 = 0
...
und dann bekomm ich diese Extremwerte:
( [mm] +/-\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] , [mm] +/-\wurzel{\bruch{1}{2}} [/mm] )
und im n-dim entsprechend:
( [mm] +/-\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] , [mm] +/-\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] )
ja, das hat mich verwundert, dass ich nirgendwo was dazu gefunden hab. wenn es kein verfahren gibt um herauszubekommen ob min/max, wie macht man das dann? gar nicht??
hm, schade mit den EW, steht so im skript...
viele grüße
riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Mi 12.07.2006 | | Autor: | Tequila |
Hi
ich meine du musst f 2 mal nach x partiell integrieren oder nach y das spielt keine Rolle
und deine möglichen Punkte einsetzen!
> 0 ist Tiefpunkt
< 0 ist Hochpunkt
vorher muss man sich aber sicher sein das es ein Extremwert ist und kein Sattelpunkt. Weist du wie das geht ?
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