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Wenn ich ein Rechteck habe, mit den Maßen 110cm*80cm [also sind die Punkte: A(0/0), B(110/0), C(110/80) und D(80/0)] und in der oberen rechten ecke wird ein Dreick abgetrennt durch die Punkte E(90/80) und F(110/50), wie erhalte ich nun das größtmögliche Rechteck in diesem Fünfeck?
Ich habe schon A=x*y für das gesuchte Rechteck und die Gerade hat die Gleichung g:y=-1,5x+21,5, dann habe ich das y in A=x*y eingestzt und dies wiederrum abgeleitet und 0-gesetzt, aber ich erhalte als Ergebnis 7,1666.
Das kann aber nichtweil dies nichtgößtmögliche Dreieck ist. Kann mir jemand ein bisschen dabei helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:26 Do 07.09.2006 | | Autor: | Fulla |
hi!
du hast schon ganz richtig angefangen!
leider hast du dich bei der geradengleichung vertan...
die gerade ist [mm]g(x)=-\bruch{3}{2}*x+215[/mm]
wie du richtig gesagt hast, ist der flächeninhalt des rechtecks [mm]A=x*y=x*g(x)[/mm]
--> ableiten --> gleich null setzten...
lieben gruß,
Fulla
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Man beachte den Definitionsbereich!
[mm]A = x \cdot \left( 215 - \frac{3}{2} x \right)[/mm] für [mm]90 \leq x \leq 110[/mm]
Der [mm]x[/mm]-Wert des Parabelscheitels (das ist gerade die Mitte zwischen den Nullstellen, die man direkt aus der Produktdarstellung ablesen kann) liegt nicht im Definitionsbereich!
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Also, wie muss ich das denn rechnen? weil mich die antworten ein bisschen verwirrt haben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Do 07.09.2006 | | Autor: | Fulla |
oh, stimmt...
meine rechnung führt zu einem rechteck, das nicht mehr in dem fünfeck liegt... d.h. der rechte obere eckpunkt des rechtecks liegt zwar auf der geraden, aber nicht auf dem stück, das das große rechteck schneidet....
also, dann würde ich sagen, dass das größmögliche rechteck die eckpunkte (0,0) (90,0) (90, 80) (0,80) hat...
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[mm]A = x \cdot \left( 215 - \frac{3}{2} x \right)[/mm] für [mm]90 \leq x \leq 110[/mm]
Vergessen wir für den Moment die einschränkende Bedingung für [mm]x[/mm], so stellt der Graph der Funktion [mm]x \mapsto A[/mm] eine nach unten geöffnete Parabel dar:
[mm]A = - \frac{3}{2} x^2 + 215x[/mm]
Die Nullstellen sind bei [mm]x=0[/mm] und [mm]x = \frac{430}{3}[/mm]. Das kann man aus der Produktdarstellung vom Anfang unmittelbar ablesen. Der Scheitel der Parabel befindet sich nun genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, also bei [mm]\frac{215}{3} = 71{,}\bar{6}[/mm].
Und jetzt beachten wir [mm]90 \leq x \leq 110[/mm]. Dieser Bereich liegt rechts vom Parabelscheitel. Dort ist die Funktion [mm]x \mapsto A[/mm] streng monoton fallend. Das Maximum des Flächeninhaltes wird also an der linken Randstelle [mm]x = 90[/mm] angenommen (das Minimum übrigens bei [mm]x = 110[/mm]).
Mach dir eine Skizze der Funktion [mm]x \mapsto A[/mm]. Dann wird dir das klar.
Diese Aufgabe ist ein Beispiel für eine Extremwertaufgabe, wo das Extremum nicht an einer Stelle mit Ableitung 0, sondern an einer Randstelle angenommen wird.
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Also ich habe das gezeichnet und seh das, aber ich weiß net wie ich das ausrechnen kann
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Setze zur Berechnung des Maximums für [mm]x=90[/mm] ein und zur Berechnung des Minimums [mm]x=110[/mm]. Mehr ist dazu nicht zu sagen.
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