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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:48 Do 07.09.2006 | | Autor: | tahaner |
| Aufgabe | Extremwertproblem
Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius r. Rollt man einen Kreissektor zusammen, entsteht ein Kegel. Bei welchem Mittelpunktswinkel [mm] \alpha [/mm] des Sektors entsteht ein Kegel mit maximalen Volumen? |
Hi alle,
Um ehrlich zu sein, ich weiss nämlich nichts, wie ich überhaupt mit der Aufgabe anfangen soll???? Ich habe Null-Ahnung!
Es würde mir sehr hilfsreich wenn einer von euch mir dabei helfen könntest...z.B. Ihr könnete erläutern, wie ich diese Aufgabe lösen kann...oder wenn ihr die Aufgabe selbst gelöst habt, könnt ihr mir den Weg zeigen, damit ich auch verstehe.....
Vielen, vielen Dank im Voraus...
tahaner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:08 Do 07.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Henry,
Wenn du das Segment des Kreises aufrollst, wird der Bogen ja zum Umfang des Grundflächenkreises des Kegels. Der Radius des Segments wird zu den Seitenlinien des Kegels.
Bei gegebenem Radius r des Kreissegments und dem Winkel [mm] \alpha [/mm] gilt fürdie Bogenlänge b (dwas ja der Umfang der Kegelgrundfläche ist)
b = [mm] \bruch{\pi r \alpha}{180}
[/mm]
Also ist der Radius [mm] r_{G} [/mm] der Grundfläche:
[mm] r_{G} [/mm] = [mm] \bruch{u}{2\pi} [/mm] = [mm] \bruch{r \alpha}{360}
[/mm]
Die Höhe [mm] h_{Kegel} [/mm] kannst du mit Hilfe des Pytahgoras berechnen.
es gilt: [mm] r_{G}² +h_{Kegel}² [/mm] = [mm] s_{Kegel} [/mm] = [mm] r_{Kreissegment}
[/mm]
es gilt also:
[mm] h_{Kegel} [/mm] = [mm] \wurzel{r_{kreissegment}²-(\bruch{r \alpha}{360})²}
[/mm]
Jetzt hast du alles für die Volumenformel.
V = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] G*h = [mm] \bruch{1}{3} \pi (\bruch{r \alpha}{180})² [/mm] * [mm] \wurzel{r²-(\bruch{r \alpha}{360})²}
[/mm]
Das ganze mal nach [mm] \alpha [/mm] ableiten und somit den Hochpunkt bestimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:49 Do 07.09.2006 | | Autor: | tahaner |
Hi Marius,
Zuerst Vielen Dank für deine Hilfe....
Jetzt weiss ich langsam wie ich mit der Aufgabe vorangehen soll.....
Aber, ein dickes Aber, es ist immer noch für mich kompliziert nach [mm] \alpha [/mm] anzuleiten.....
Wenn es dir nicht ausmacht, könntest du mir weiter helfen??? Ob du mir glaubst oder nicht, ich hab versucht sie zu lösen...es ist zu kompliziert....
????
tahaner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:24 Fr 08.09.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich versuchs.
V = [mm] \bruch{1}{3} \pi (\bruch{r \alpha}{180})² [/mm] * [mm] \wurzel{r²-(\bruch{r \alpha}{360})²}
[/mm]
Das ganze mal unter eine Wurzel schreiben:
= [mm] \wurzel{\bruch{\pi² r^{4} \alpha^{4}}{9 * 180²}(r²-(\bruch{r \alpha}{360})²)}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{\pi² r^{6} \alpha^{4}}{9 * 180²} - \bruch{\pi² r^{6} \alpha^{6}}{9 * 180²* 360²}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{\pi² r^{6} \alpha^{4} 360²}{9 * 180² +360²} - \bruch{\pi² r^{6} \alpha^{6}}{9 * 180²* 360²}}
[/mm]
[mm] =\wurzel{\bruch{\pi² r^{6} \alpha^{4} 360²- \pi² r^{6} \alpha^{6}}{9 * 180²* 360²}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{\pi² r^{6} \alpha^{4} 360²- \pi² r^{6} \alpha^{6}}{9 * 180²* 360²}}
[/mm]
= [mm] \wurzel{\bruch{(\pi² r^{6} )(\alpha^{4}360²- \alpha^{6})}{9 * 180²* 360²}}
[/mm]
= [mm] \bruch{\pi r³}{3*180*360} [/mm] * [mm] \wurzel{360²\alpha^{4} - \alpha^{6}}
[/mm]
Das ganze kannst du jetzt mit der Kettenregel ableiten. (der Term vor der Wurzel interessiert für die Ableitung nicht mehr, er ist von [mm] \alpha [/mm] unabhängig).
Also [mm] V'(\alpha) [/mm] = [mm] \bruch{\pi r³}{3*180*360} [/mm] * [mm] \underbrace{(4*360² \alpha³ - 6\alpha^{5})}_{innere Abl} [/mm] * [mm] \underbrace{\bruch{1}{2*\wurzel{360²\alpha^{4} - \alpha^{6}}}}_{aeussere Abl.}
[/mm]
= [mm] \bruch{\pi r³ (4*360² \alpha³ - 6\alpha^{5})}{3*180*360*2*\wurzel{360²\alpha^{4} - \alpha^{6}}}
[/mm]
Dieser Term wird gleich Null, wenn der Teil 4*360² [mm] \alpha³ [/mm] - [mm] 6\alpha^{5} [/mm] gleich Null wird.
(Ein Bruch ist dann gleich Null, wenn der Zähler Null ist, und daser Zähler ein Produkt ist, reicht es, den Term (4*360² [mm] \alpha³ [/mm] - [mm] 6\alpha^{5}) [/mm] gleich Null ist.)
So, ich hoffe, ich habe mich jetzt nicht verrechnet und konnte dir weiterhelfen. Ich glaube dir übrigens jetzt, dass du mit dem Ableiten der Funktion Probleme hattest....
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Fr 08.09.2006 | | Autor: | tahaner |
Hi M. Rex,
Ich denke, es sollte genügen...ich muss mich jetzt hinsetzen und das ganze herunterschlucken! Ich muss sie verstehen, wieso sie so ist......
ich denke auch, dass ich sie verstehen kann....ich muss mich wie gesagt konzentriert abarbeiten.....
Ich weiss sehr deine Hilfe zu schätzen( I appreciate it very much!)
Noch mal, mein Dankeschön!
Tahaner
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Die Lösung ist arg umständlich. Es ist nicht nötig, das Volumen [mm]V[/mm] in Abhängigkeit vom Mittelpunktswinkel [mm]\alpha[/mm] darzustellen (das macht nämlich die Sache so kompliziert!). Man muß [mm]V[/mm] nur überhaupt in Abhängigkeit von einer Variablen bringen. Hier bietet sich die Kegelhöhe an.
Ich verwende die folgenden Bezeichnungen:
Es waren [mm]r[/mm] der Radius des Kreises, aus dem der Kegel zusammengerollt wird (das ist zugleich die Mantellinie des Kegels) und [mm]\alpha[/mm] der Mittelpunktswinkel des Kreissektors. Zusätzlich seien
[mm]x[/mm] = Kegelhöhe
[mm]y[/mm] = Kegelgrundkreisradius
Wenn [mm]\alpha[/mm] im Bogenmaß gemessen wird, so gilt wegen
Bogen des Kreissektors = Umfang des Kegelgrundkreises :
(*) [mm]\alpha \, r = 2 \pi y[/mm]
Und nach Pythagoras ist
[mm]x^2 + y^2 = r^2[/mm]
Im Kegelvolumen [mm]V = \frac{1}{3} \, \pi \cdot y^2 \cdot x[/mm] wird nach Pythagoras [mm]y^2[/mm] eliminiert:
[mm]V(x) = \frac{1}{3} \left( r^2 - x^2 \right) \, x[/mm] für [mm]0 \leq x \leq r[/mm]
[mm]r>0[/mm] ist hier Parameter, also als fest anzusehen. Die Randfälle [mm]x=0[/mm] und [mm]x=r[/mm] sind Entartungsfälle. Im ersten Fall entartet der Kegel zu einer Kreisscheibe, im zweiten Fall zu einer Strecke. In beiden Fällen ist das Volumen 0. Deshalb muß [mm]V(x)[/mm] für [mm]0 < x < r[/mm] ein Maximum annehmen. Dort ist [mm]V'(x) = 0[/mm].
Du mußt daher jetzt nur noch die simple Funktion [mm]V(x)[/mm], welche ganzrational vom Grad 3 ist, diskutieren. Das Vorgehen:
1. Mittels [mm]V'(x) = 0[/mm] die Maximalstelle [mm]x \in ]0,r[[/mm] berechnen.
2. Mit Pythagoras (siehe oben) das zugehörige [mm]y[/mm] bestimmen.
3. Mit diesem [mm]y[/mm] in (*) gehen und [mm]\alpha[/mm] berechnen.
Bei richtiger Rechnung ergibt sich [mm]\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 2 \pi[/mm] oder wegen [mm]2 \pi = 360^{\circ}[/mm] im Gradmaß:
[mm]\alpha = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot 360^{\circ} \approx 293{,}94^{\circ}[/mm]
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