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| Aufgabe | | Aus einem 36 cm langen Draht soll das Modell einer quadratischen Säule hergestellt werden. Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat? |
Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Da ich mir bei diesen Aufgaben noch sehr unsicher bin, würe ich gerne meine Vorgehensweise von euch kontrollieren lassen.
Zielfunktion: V = G * h ---> V = [mm] a^{2} [/mm] * h
Nebenbedingung: 8a + 4 h =36
8a + 4 h =36 | - 8a
4h = 36 - 8a | /4
h= 9 - 2a
9 - 2a in Zielfunktion eingesetzt:
V = [mm] a^{2} [/mm] * h
= [mm] a^{2} [/mm] * ( 9 - 2a)
= -2 [mm] a^{3} [/mm] + 9 [mm] a^{2}
[/mm]
V (a,h) = -2 [mm] a^{3} [/mm] + 9 [mm] a^{2}
[/mm]
V' (a,h) = -6 [mm] a^{2} [/mm] + 18a
Notwendige Bedinung: V' (a,h) = 0
-6 [mm] a^{2} [/mm] + 18a = 0 | / (-6)
[mm] a^{2} [/mm] - 3a = 0
[mm] a^{2} [/mm] - 3a + 2,25 - 2,25 = 0
(a - 1,5) ^{2} - 2,25 = 0 | + 2,25
(a - 1,5) ^{2} = 2,25 | Wurzel
a - 1,5 = 1,5 v a - 1,5 = - 1,5
=> a = 3 v a = 0 (a=0 fällt weg, da die Grundseite nicht "Null" sein kann).
a=3 in Nebenbedingung eingesetzt:
8a + 4h = 36
8 * 3 + 4h = 36
24 + 4h = 36 | -24
4h = 12 | /4
h = 3
a=3 und h=3 in Zielfunktion eingesetzt:
V= [mm] a^{2} [/mm] + h
= [mm] 3^{2} [/mm] + 3 = 27
Das maximale Volumen bei einem Draht von 36cm liegt bei [mm] 27cm^{2}
[/mm]
Also, für mich klingt das ja logisch, aber vielleicht hat sich hier ja doch der Fehlerteufel oder ein Logikfehler eingeschlichen?
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo espritgirl!
> Aus einem 36 cm langen Draht soll das Modell einer
> quadratischen Säule hergestellt werden. Wie lang sind die
> Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?
Kleiner Tipp vorweg: zu viele Leerzeichen zwischen den Zeichen bei den Formeln machen das ganze leider eher unleserlich. Zusammenhängendes wird oft als komplette Formel umgewandelt - aber wenn Leerzeichen dazwischen sind, dann gibt das so was wie: 4 [mm] a^2 [/mm] anstatt [mm] 4a^2...
[/mm]
> Zielfunktion: V = G * h ---> V = [mm]a^{2}[/mm] * h
>
> Nebenbedingung: 8a + 4 h =36
>
> 8a + 4 h =36 | - 8a
> 4h = 36 - 8a | /4
> h= 9 - 2a
>
> 9 - 2a in Zielfunktion eingesetzt:
>
> V = [mm]a^{2}[/mm] * h
> = [mm]a^{2}[/mm] * ( 9 - 2a)
> = -2 [mm]a^{3}[/mm] + 9 [mm]a^{2}[/mm]
>
> V (a,h) = -2 [mm]a^{3}[/mm] + 9 [mm]a^{2}[/mm]
Diese Funktion hängt doch jetzt nur noch von a ab, also darf es nicht mehr V(a,h) heißen, sondern nur noch V(a).
> V' (a,h) = -6 [mm]a^{2}[/mm] + 18a
>
> Notwendige Bedinung: V' (a,h) = 0
>
> -6 [mm]a^{2}[/mm] + 18a = 0 | / (-6)
> [mm]a^{2}[/mm] - 3a = 0
> [mm]a^{2}[/mm] - 3a + 2,25 - 2,25 = 0
> (a - 1,5) ^{2} - 2,25 = 0 | + 2,25
> (a - 1,5) ^{2} = 2,25 | Wurzel
Auch hier hat das unnötige Leerzeichen dazu geführt, dass die Formel gar nicht erst umgewandelt wird. Warum schreibst du nicht einfach: [mm] (a-1,5)^2? [/mm] Ist doch viel schöner und geht auch noch schneller zu tippen, weil du drei (Leer-)Zeichen weniger hast. ![[aetsch]](/images/smileys/aetsch.gif "[aetsch]")
> a - 1,5 = 1,5 v a - 1,5 = - 1,5
> => a = 3 v a = 0 (a=0 fällt weg, da die Grundseite nicht
> "Null" sein kann).
Sehr umständlich gerechnet - warum machst du's nicht so: [mm] a^2-3a=0 \gdw [/mm] a(a-3)=0 [mm] \gdw [/mm] a=0 [mm] \vee [/mm] a=3
> a=3 in Nebenbedingung eingesetzt:
>
> 8a + 4h = 36
> 8 * 3 + 4h = 36
> 24 + 4h = 36 | -24
> 4h = 12 | /4
> h = 3
>
> a=3 und h=3 in Zielfunktion eingesetzt:
>
> V= [mm]a^{2}[/mm] + h
Sieh dir nochmal genau deine Zielfunktion an. Da hast du die wohl verschrieben...
Und was für ein Körper kommt dann selbstverständlich raus?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hey Bastiane ,
Sorry wegen den Formeln, aber ich hatte einmal (lange ists her) ein super Problem mit dem "umwandeln", weil der PC die einfach nicht richtig ausgespuckt hat - deswegen die Lehrzeilen (Aufgepasst: das heißt natürlich Leerzeilen, oder Bastiane ![[hand]](/images/smileys/hand.gif "[hand]") ?!) ... Werde es in Zukunft unterlassen 
> Diese Funktion hängt doch jetzt nur noch von a ab, also
> darf es nicht mehr V(a,h) heißen, sondern nur noch V(a).
hmmm... Stimmt. Habe ich tatsächlich missachtet. Danke für deine Aufmerksamkeit
> Sehr umständlich gerechnet - warum machst du's nicht so:
> [mm]a^2-3a=0 \gdw[/mm] a(a-3)=0 [mm]\gdw[/mm] a=0 [mm]\vee[/mm] a=3
In der Tat... Denke halt gerne kompliziert...
> > V= [mm]a^{2}[/mm] + h
>
> Sieh dir nochmal genau deine Zielfunktion an. Da hast du
> die wohl verschrieben...
> Und was für ein Körper kommt dann selbstverständlich
> raus?
Das verstehe ich nicht! Wieso habe ich mich da verschrieben?
Weil die Formel nomalerweise V=G*h heißt?!
Aber hier hätte ich noch glatt eine Verständnisfrage: in der Schule haben wir bereits unsere Zielfunktion, also V= [mm] a^{2} [/mm] + h angegeben bekommen. Ich habe mich schon gefragt, warum wir G durch [mm] a^{2} [/mm] ersetzt haben. Weil wir eine quadratische Grundfläche haben?
Liebe Grüße,
Sarah
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Hallo,
wenn Ihr in der schule [mm] V=a^{2}+h [/mm] geschrieben habt, ist es so nicht korrekt, vielleicht ein Abschreibfehler, es heißt [mm] V=a^{2}*h, [/mm] wenn a=h=3cm ist, so ist doch ein Würfel entstanden, wenn ich mir Dein Ergebnis von [mm] V=27cm^{2} [/mm] anschaue, so hast Du doch multipliziert, sonst würde doch 12 stehen, beachte das Volumen wird immer in [mm] cm^{3} [/mm] angegeben, Du kannst die Grundfläche G durch [mm] a^{2} [/mm] ersetzen, da es sich um ein Quadrat handelt, Länge=Breite=3cm,
Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Sa 01.09.2007 | | Autor: | espritgirl |
Hey Steffie ,
> wenn Ihr in der schule [mm]V=a^{2}+h[/mm] geschrieben habt, ist es
> so nicht korrekt, vielleicht ein Abschreibfehler, es heißt
> [mm]V=a^{2}*h,[/mm] wenn a=h=3cm ist, so ist doch ein Würfel
> entstanden, wenn ich mir Dein Ergebnis von [mm]V=27cm^{2}[/mm]
> anschaue, so hast Du doch multipliziert, sonst würde doch
> 12 stehen,
Nee, ich hatte wirklich * geschrieben, hier im Forum allerdings - wie man sieht +. Hab das selbet bei der Kontrolle eben übersehen...
> beachte das Volumen wird immer in [mm]cm^{3}[/mm]
> angegeben, Du kannst die Grundfläche G durch [mm]a^{2}[/mm]
> ersetzen, da es sich um ein Quadrat handelt,
> Länge=Breite=3cm,
Danke für die Erklärung!
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Sa 01.09.2007 | | Autor: | espritgirl |
Hey Bastiane ,
> Was für ein Problem!?
Ich habe alles aneinander geschrieben und da kam nur Mist raus. Deswegen schreibe ich das immer auseinander, halte das manchmal auch für übersichtlicher,zum Beispiel was 2x + 3y angeht...
> ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") "Lehrzeilen"? Das hätte ich aber bemerkt, wenn
> die dich belehren würden... ![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
Ohoho... Das ist als Deutsch-LKlerin echt peinlich, richtig
Manchmal habe ich den Eindruck, dass du mein Duden der deutschen Rechtschreibung bist *gg*
Aber als Erklärung: bin super krank, das ist doch mal ne gute Ausrede^^
Werde das mal schnell in meinem Beitrag ändern!
> Aber am Ende hast du Recht - du hast gar nicht addiert,
> sondern multipliziert - obwohl in der Formel am Ende etwas
> anderes stand...
Ja, ich hatte aufgrund deiner Anmerkung einfach nicht aus das + bzw * Zeichen geguckt, sondern nur auf das [mm] a^{2} [/mm] weil ich dachte, das da mein Fehler gewesen wäre.
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