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| Aufgabe | | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang dieses Querschnitts soll 2m betragen. Wie müssen die Rechteckseiten gewählt werden, damit der Querschnitt maximalen Flächeninhalt hat? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich hab ein bisschen was versucht:
U (vom Halbkreis) =π ⋅d
U( vom Rechteck) =2⋅x+2⋅y
da d=x ist
U=π x+2x+2y
2=π x+2x+2y
y=(1-x)/(π*x)( ich weiß nicht ob das stimmt)
dann
A(x)=x⋅y (Flächeninhalt von Rechteck soll maximal werden)
A(x)=x⋅(1-x)/(π*x)
A(x)=(1-x)/(π)
ich denke eher dass das falsch ist.
ich kann sowas nicht weiter ableiten..
kann mir jemand helfen?
(gibt es eine möglichkeit brüche darzustellen?)
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Wow vielen danke schonmal für die schnelle Antwort :)!
also ich hab jetzt 1/2π*x als umfang genommen.
U= 1/2π*x+x+2y
y= (2/π)-x
ich versteh nur nicht ganz was du damit meinst, dass ich den flächeninhalt des halbkreises unterschlagen hätte. gefragt ist doch wie die rechtecksseiten gewählt werden sollen damit der flächeninhalt maximal wird?
wenn man dann den kreis dazu nimmt sollte es heißen:
A(x)= x*y+(1/2)*(π/4)*x²
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Hallo Phoenix22,
> U= 1/2π*x+x+2y
> A = x*y+(1/2)*(π/4)*x²
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm] $U\!$ [/mm] hast du gegeben. Forme also die erste Gleichung nach einer Variable deiner Wahl um, und setze diese als einschränkende Bedingung in die 2te Gleichung ein. Damit erhälst du je nach deiner Wahl entweder die Funktion [mm] $A(x)\!$ [/mm] oder [mm] $A(y)\!$ [/mm] deren Hochpunkt(e) du ermitteln mußt. Zum Schluß kannst du wieder die 1te Gleichung verwenden, um beide Seitenlängen zu ermitteln.
Viele Grüße
Karl
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ja also ich habe folgendes gemacht:
nach y aufgelöst:
y=x-(2/π)
A(x)=x*y+(1/2)*(π/4)*x²
A(x)=x*x-(2/π)+(1/2)*(π/4)*x²
ist das umgeformt so?
A(x)=x²-(2/π)+(π/8)*x²
wenn das so wäre..wüsste ich nicht mehr weiter zu rechnen..
ich brauche ja die 1. ableitung und die 2.
A'(x)= ?
A''(x)= ??
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Hallo, du hast
[mm] 2=\bruch{1}{2}*\pi*x+x+2*y
[/mm]
nicht korrekt nach y umgestellt
[mm] 2-\bruch{1}{2}*\pi*x-x=2*y
[/mm]
[mm] y=1-\bruch{1}{4}*\pi*x-\bruch{1}{2}*x
[/mm]
jetzt in die Hauptbedingung einsetzen
Steffi
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ah okay ja vielen dank =)
nur jetzt steh ich wieder vor einem problem:
wie fasse ich diesen term zusammen?
A(x)= x*1-(1/4)*π*x-(1/2)*x+(1/2)*(π/4)*x²
ich hab wirklich keine ahnung =/
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> ah okay ja vielen dank =)
>
> nur jetzt steh ich wieder vor einem problem:
>
> wie fasse ich diesen term zusammen?
>
> A(x)= x*1-(1/4)*π*x-(1/2)*x+(1/2)*(π/4)*x²
>
> ich hab wirklich keine ahnung =/
Ich gehe davon aus, dass
[mm]A(x)=\red{x-\frac{1}{4}\pi x -\frac{1}{2}x}+\frac{1}{2}\frac{\pi}{4}x^2[/mm]
stimmt. Die roten Terme gehören zusammen, wenn du die Terme nach ihren Potenzen sortierst.
Einfaches Beispiel
[mm]f(x)=\red{3x+6x}-7x^2 +\red{8x} = \red{x*(3+6+8)}-7x^2=\red{17x}-7x^2[/mm]
Bei deiner Funktion brauchst die Koeffizienten von den x addieren. Hier grün:
[mm]A(x)=\green{1}*x+\green{-\frac{1}{4}\pi} x +\green{-\frac{1}{2}}x+\frac{1}{2}\frac{\pi}{4}x^2[/mm]
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ah okay toll danke =)
somit hab ich dann raus:
[mm] A(x)=x(1-1/4\pi-1/2)+1/2*\pi/4*x²
[/mm]
[mm] A(x)=-0,29x(gerundet)+(\pi/8)x^2
[/mm]
A'(x)=0
x=0.38
[mm] A''(x)=\pi/8 [/mm] ! ! ! das heißt die 2. Ableitung ist größer als 0 und das heißt dass hier ein Minimum ist..aber ich suche doch ein Maximum..das heißt irgendwo ist ein Fehler oder? =/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 So 26.09.2010 | | Autor: | M.Rex |
> ah okay toll danke =)
>
> somit hab ich dann raus:
> [mm]A(x)=x(1-1/4\pi-1/2)+1/2*\pi/4*x²[/mm]
Sortiere besser die Koeffizienten vor die Variable und fasse zusammen
Also:
[mm] A(x)=\left(1-\bruch{\pi}{4}-\bruch{1}{2}\right)*x+\bruch{1}{2}*\bruch{\pi}{4}x^{2}
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{4}\right)*x+\bruch{\pi}{8}x^{2}
[/mm]
> [mm]A(x)=-0,29x(gerundet)+(\pi/8)x^2[/mm]
Und jetzt lasse die Koeffizienten bei der Ableitung so stehen, also:
[mm] A'(x)=\left(\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{4}\right)+\bruch{\pi}{4}x
[/mm]
>
> A'(x)=0
> x=0.38
Auch hier lasse den konkreten wert mit [mm] \pi [/mm] stehen
Marius
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Hallo
[mm] A(x,y)=x*y+\bruch{1}{2}*\bruch{\pi}{4}*x^{2}
[/mm]
[mm] A(x,y)=x*y+\bruch{\pi}{8}*x^{2}
[/mm]
mit [mm] y=1-\bruch{\pi}{4}*x-\bruch{1}{2}*x
[/mm]
ergibt sich
[mm] A(x)=x*(1-\bruch{\pi}{4}*x-\bruch{1}{2}*x)+\bruch{\pi}{8}*x^{2}
[/mm]
[mm] A(x)=x-\bruch{\pi}{4}*x^{2}-\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{\pi}{8}*x^{2}
[/mm]
[mm] A(x)=x+(-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{8})*x^{2}
[/mm]
Steffi
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$ [mm] A(x)=x-\bruch{\pi}{4}\cdot{}x^{2}-\bruch{1}{2}\cdot{}x^{2}+\bruch{\pi}{8}\cdot{}x^{2} [/mm] $
$ [mm] A(x)=x+(-\bruch{1}{2}-\bruch{\pi}{8})\cdot{}x^{2} [/mm] $
wo hast du die - [mm] \pi/4 [/mm] hingetan? und warum - [mm] \pi/8? [/mm] da steht doch in der gleichung [mm] +\pi/8
[/mm]
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Hallo,
du hast
[mm] -\bruch{\pi}{4}+\bruch{\pi}{8}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2\pi}{8}+\bruch{1\pi}{8}
[/mm]
[mm] =-\bruch{\pi}{8}
[/mm]
Steffi
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okay und dann bekomm ich:
A(x)= -0,81x²+x
A'(x)= -1,79x
A''(x)=-1,79
A'(x)=0
0=-1,79x
x=0
das ist unlogisch -.-
x kann nicht 0 sein...
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Hallo Phoenix22,
> okay und dann bekomm ich:
>
> A(x)= -0,81x²+x
> A'(x)= -1,79x
> A''(x)=-1,79
>
> A'(x)=0
> 0=-1,79x
Hier hast Du die Ableitung von x vergessen:
[mm]0=\red{1}-1,79x[/mm]
> x=0
>
> das ist unlogisch -.-
>
> x kann nicht 0 sein...
Rechne hier lieber mit exakten Werten bis Du das Endergebnis hast.
Dies kannst Du dann wieder runden.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 So 26.09.2010 | | Autor: | Phoenix22 |
Danke dass ihr alle so geduldig mit mir wart :)
Ich werd wohl öfter hier was fragen und irgendwann kann ich dann auch helfen ;)!
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das ist aber der Umfang eines ganzen Kreises.
