Extremwertprobleme lösen < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Funktion f(x) = (x-3)² + 2,5 für 0 kleiner/gleich x kleiner/gleich 3.
Von allen achsenparallelen Rechtecken mit dem Ursprung als einem Eckpunkt und dem Punkt P(x/f(x)) als gegenüber liegendem Eckpunkt ist dasjenige mit maximalem Inhalt zu bestimmen. |
| Aufgabe 2 | | Welches oben offene zylindische Gefäß mit 1 Liter Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch? |
| Aufgabe 3 | | Für einen Betrieb gilt die Preis-Absatz-Beziehung p = 100 -2x. wobei x die Anzahl der abgesetzten (d.h. verkauften) Mengeneinheiten und p der Preis pro Mengeneinheit ist. Für welchen Preis und welche Absatzmenge ist der Umsatz maximal? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir haben diese 3 Aufgaben auf einem Blatt bekommen, auf dem eine Art Anleitung zum Lösen von Extremwertproblemen steht.
Ich habe ähnliche Aufgaben in der 11 schon gelöst jedoch einfacher.
Jetzt sollen wir jeden einzelnen Punkt des gegebenen Lösungsweges Schritt für Schritt bearbeiten, aber ich weiß nicht wirklich, wie.
Bis jetzt habe ich einfach die Ableitungen gebildet, eingesetzt und halt umgerechnet, wie es gerade nötig war. Aber hier stehen so viele Unterpunkte, dass ich keine Ahnung habe, was jetzt was bedeuten soll.
Hier der Lösungsweg:
1. Extremalbedingungen erfassen und formulieren
1.1. Sachverhalte veranschaulichen (Zeichnungen etc.)
1.2.Welches ist die Extremalgröße, d.h. von welcher ist der Extremwert gesucht?
1. 3. Formel / Term für die Extremalgröße aufstellen (= Extremalbedingung)
bei 1.3. weiß ich schon nicht welche Bedingung jetzt gemeint ist. Wäre das die 1. Ableitung = 0 ??
1.4. Extremalgröße für Einzelfälle berechnen, evtl tabellarisch darstellen
bei 1.4. würde ich das so verstehen das man einfach nur die x-Werte ausrechnet. Ist das richtig? Und was soll tabellarisch dargestelt werden? Sowas haben wir in solchen Aufgaben auch nie gemacht.
1.5. evtl. Vermutung über eine Lösung formulieren
2. Nebenbedingungen erfassen und formulieren
Wäre das jetzt die 2. Ableitung?
2.1.. Beziehungen zwischen beteiligten (Neben-)Größen (Gleichung, Formeln)?
2.2. Nebengrößen durch andere auuszudrücken versuchen (= Nebenbedingung(en))
Bei 2.1. und 2.2 verstehe ich so gut wie gar nciht, was gemeint ist
3. Zielfunktion aufstellen
3.1. Nebenbedingung(en) in der Extremalbedingung verwerten, sodass die Extremalgröße sich als Funkiton nur (noch) einer Variablen zeigt (= ZIelfunktion)
Würde man das nicht eigentlich am Anfang machen, bevor man überhaupt rechnet??
3.2. Definitionsmenge der Zielfunktion unter Beachtung de relevanten Sachverhalts?
ist das nicht das, was am Anfang eigentlich schon gegeben ist?
3.3. Graph der Zielfuniton zeichznen und im Zusammenhang mit Definitionsmenge interpretieren
4.Extremwerte (exakt) ermitteln
4.1. Zielfunktion auf relevante Extrema untersuchen
4.2 Ränder der Definitionsmenge auf "bessere" Extrema untersuchen
4.3. absolutes Extremum bzw. absolute Extrema feststellen
Heißt das im Prinzip nur die x-Werte in die Usprungsfunktion einsetzen, oder habe ich das jetzt komplett falsch verstanden? Weil eigentlich hat man ja schon am Anfang die Extremwerte berechnet
5. Ergebnis interpretieren
5.1.Welche Ergebnisse ergeben sich für Nebengröße?
5.2. Inwiefern sind die anfänglichen Vermutungen bestätigt oder nicht?
5.3. Wie sind die Ergebnisse in Bezug auf das Ausgangsprblem zu interpretieren?
5.4. Welche ausdrücklichen oder stillschweigenden Annahmen am Rande des Sachzusammenhangs sind bei der Ergebnisinterpretation uz berücksichtigen?
Ist das nicht eigentlich doppelt? Man wiederholt sich doch nur die ganze Zeit oder nicht?
Vielleicht kann mir jemand helfen und hat vielleicht für die 3 Aufgaben Ansätze, sodass ich sehen kann, ob das, was ich denke auch stimmt..
Weil meiner Meinung nach würde man z.B. bei der 1. Aufgabe
2x * y rechnen (ich weiß nicht, wieso haben wir in der Schule so gemacht. Ich hätte x* y gerechnet)
dadurch hat man dann eine Funkrion 3. Grades
A(x) = 2x³ + 12x² + 23x
Dann 1. Ableitung gleich Null setzen usw. Also das Rechnen ist nihct mein Problem, sondern das Rechnen in Bezug auf dieses Bestimmte Verfahren, was mich nur verwirrt.
Vielen Dank schon einmal :)
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Hallo, deine Ausführungen sind ja Wahnsinn, du solltest die Aufgaben rechnen, das bringt dich sicherlich weiter, als deine "theoretischen Abhandlungen", die Schrittfolge automatisiert sich dann ganz von alleine,
zu 1)
Skizze
[Dateianhang nicht öffentlich]
werde dir zunächst klar, warum es die Einschränkung 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3 gibt, besser 0 < x [mm] \le [/mm] 3
für ein Rechteck gilt [mm] A=a*b=\overline{AB}*\overline{BC}
[/mm]
Hauptbedingung: A=x*f(x)
Nebenbedingung: [mm] f(x)=(x-3)^{2}+2,5
[/mm]
du bekommst:
[mm] A(x)=x*[(x-3)^{2}+2,5]
[/mm]
[mm] A(x)=x^{3}-6*x^{2}+11,5*x
[/mm]
A'(x)= .... =0
überprüfe dann, ob deine Stellen im Intervall 0 < x [mm] \le [/mm] 3 liegen und ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Steffi hat ja schon gesagt, dass die theoretischen Abhandlungen dir im Ernstfall nicht viel nützen. Warum schreibst du nicht konkret, wie du die Aufgaben löst bzw. was du da raus hast?
Zu Aufgabe 3:
Du kannst 50 Stück umsonst verkaufen = Umsatz gleich NULL
Du kannst auch 0 Stück zu je 100 Geldeinheiten verkaufen = Umsatz gleich NULL
Der maximale Umsatz liegt genau zwischen 0 Stück und 50 Stück (also bei 25 Stück), da die Zielfunktion eine Parabel ist.
Man kann es auch genau rechnen:
p = 100 - 2x (Preisfunktion)
U = p*x (Umsatzfunktion)
U = (100 - 2x)*x und das sei maximal
Erste Ableitung bilden und NULL setzen.
Und da kommt dann x=25 raus. (siehe oben)
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Hallo imyselfandme und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
offenbar sollt Ihr als LK üben, mit solchen Anweisungen etc. umzugehen und sie in zielgerichtetes Handeln umzusetzen. Das kann (und werdet Ihr) üben, also kein Grund zur Panik!
> Gegeben ist die Funktion f(x)=(x-3)² + 2,5 für 0
> kleiner/gleich x kleiner/gleich 3.
> Von allen achsenparallelen Rechtecken mit dem Ursprung als
> einem Eckpunkt und dem Punkt P(x/f(x)) als gegenüber
> liegendem Eckpunkt ist dasjenige mit maximalem Inhalt zu
> bestimmen.
> Welches oben offene zylindische Gefäß mit 1 Liter
> Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?
> Für einen Betrieb gilt die Preis-Absatz-Beziehung p = 100
> -2x. wobei x die Anzahl der abgesetzten (d.h. verkauften)
> Mengeneinheiten und p der Preis pro Mengeneinheit ist. Für
> welchen Preis und welche Absatzmenge ist der Umsatz
> maximal?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wir haben diese 3 Aufgaben auf einem Blatt bekommen, auf
> dem eine Art Anleitung zum Lösen von Extremwertproblemen
> steht.
> Ich habe ähnliche Aufgaben in der 11 schon gelöst jedoch
> einfacher.
> Jetzt sollen wir jeden einzelnen Punkt des gegebenen
> Lösungsweges Schritt für Schritt bearbeiten, aber ich
> weiß nicht wirklich, wie.
> Bis jetzt habe ich einfach die Ableitungen gebildet,
> eingesetzt und halt umgerechnet, wie es gerade nötig war.
> Aber hier stehen so viele Unterpunkte, dass ich keine
> Ahnung habe, was jetzt was bedeuten soll.
>
> Hier der Lösungsweg:
>
> 1. Extremalbedingungen erfassen und formulieren
> 1.1. Sachverhalte veranschaulichen (Zeichnungen etc.)
hat Steffi schon gezeigt...
> 1.2.Welches ist die Extremalgröße, d.h. von welcher
> ist der Extremwert gesucht?
> 1. 3. Formel / Term für die Extremalgröße aufstellen
> (= Extremalbedingung)
>
> bei 1.3. weiß ich schon nicht welche Bedingung jetzt
> gemeint ist. Wäre das die 1. Ableitung = 0 ??
>
> 1.4. Extremalgröße für Einzelfälle berechnen, evtl
> tabellarisch darstellen
>
> bei 1.4. würde ich das so verstehen das man einfach nur
> die x-Werte ausrechnet. Ist das richtig? Und was soll
> tabellarisch dargestelt werden? Sowas haben wir in solchen
> Aufgaben auch nie gemacht.
>
> 1.5. evtl. Vermutung über eine Lösung formulieren
hat rabilein1 schon mal für 3) gemacht...
>
> 2. Nebenbedingungen erfassen und formulieren
>
> Wäre das jetzt die 2. Ableitung?
>
> 2.1.. Beziehungen zwischen beteiligten (Neben-)Größen
> (Gleichung, Formeln)?
ad 2)- wieder eine Zeichnung machen und sich vorstellen, wie dieses Gefäß wohl aussehen mag
(denk mal an eine Konservendose ohne Deckel)
Materialverbrauch: hat was mit der Oberfläche der Dose zu tun: wie lautet eine Formel dafür?
Fassungsvermogen: anderes Wort für Volumen - auch dafür gibt's eine Formel
Was soll extremal (minimal) werden [mm] \rightarrow [/mm] Extremalbedingung
meistens hängt die Extremalbedingung von mehr als einer Variablen ab.
Die Variablen werden aber durch die Nebenbedingung untereinander in Beziehung gesetzt.
>
> 2.2. Nebengrößen durch andere auuszudrücken versuchen (=
> Nebenbedingung(en))
Dadurch erreichst du, dass die Extremalbedingung nur noch von einer Variablen abhängt.
>
>
> Bei 2.1. und 2.2 verstehe ich so gut wie gar nciht, was
> gemeint ist
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  MiniMaxAufgaben
vielleicht ist das klarer formuliert?
>
> 3. Zielfunktion aufstellen
>
> 3.1. Nebenbedingung(en) in der Extremalbedingung verwerten,
> sodass die Extremalgröße sich als Funkiton nur (noch)
> einer Variablen zeigt (= ZIelfunktion)
>
> Würde man das nicht eigentlich am Anfang machen, bevor man
> überhaupt rechnet??
>
> 3.2. Definitionsmenge der Zielfunktion unter Beachtung de
> relevanten Sachverhalts?
>
> ist das nicht das, was am Anfang eigentlich schon gegeben
> ist?
>
> 3.3. Graph der Zielfuniton zeichznen und im Zusammenhang
> mit Definitionsmenge interpretieren
>
> 4.Extremwerte (exakt) ermitteln
>
> 4.1. Zielfunktion auf relevante Extrema untersuchen
> 4.2 Ränder der Definitionsmenge auf "bessere" Extrema
> untersuchen
> 4.3. absolutes Extremum bzw. absolute Extrema
> feststellen
>
> Heißt das im Prinzip nur die x-Werte in die
> Usprungsfunktion einsetzen, oder habe ich das jetzt
> komplett falsch verstanden? Weil eigentlich hat man ja
> schon am Anfang die Extremwerte berechnet
>
> 5. Ergebnis interpretieren
>
> 5.1.Welche Ergebnisse ergeben sich für Nebengröße?
> 5.2. Inwiefern sind die anfänglichen Vermutungen
> bestätigt oder nicht?
> 5.3. Wie sind die Ergebnisse in Bezug auf das
> Ausgangsprblem zu interpretieren?
> 5.4. Welche ausdrücklichen oder stillschweigenden
> Annahmen am Rande des Sachzusammenhangs sind bei der
> Ergebnisinterpretation uz berücksichtigen?
>
> Ist das nicht eigentlich doppelt? Man wiederholt sich doch
> nur die ganze Zeit oder nicht?
> Vielleicht kann mir jemand helfen und hat vielleicht für
> die 3 Aufgaben Ansätze, sodass ich sehen kann, ob das, was
> ich denke auch stimmt..
> Weil meiner Meinung nach würde man z.B. bei der 1.
> Aufgabe
> 2x * y rechnen (ich weiß nicht, wieso haben wir in der
> Schule so gemacht. Ich hätte x* y gerechnet)
> dadurch hat man dann eine Funkrion 3. Grades
> A(x) = 2x³ + 12x² + 23x
> Dann 1. Ableitung gleich Null setzen usw. Also das Rechnen
> ist nihct mein Problem, sondern das Rechnen in Bezug auf
> dieses Bestimmte Verfahren, was mich nur verwirrt.
>
>
> Vielen Dank schon einmal :)
Also: nicht bange machen lassen!
Das Grundprinzip der Extremwertaufgaben ist nicht schwer, aber die Aufgaben sind immer wieder anders verpackt!
Die größte Schwierigkeit liegt darin, die richtigen (=zu einander passenden) Formeln zu finden, daraus eine geeignete Zierfunktion (Extremalfunktion) zu erzeugen, die dann untersucht werden muss.
Mir scheint (ich habe nix gerechnet!), die drei Aufgaben sollen Euch auf die unterschiedlichen Fälle nicht ganz trivialer Sonderfälle aufmerksam machen - aber auch die kann man üben!
Gruß informix
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