Extremwertprobleme,wahre Probl < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, jetzt haben wir in unserem schönen Mathe Gk mit Extremwertproblemen angefangen.
Die Aufgabe lautet:
aus einem rechteckigen stück pappe mit den seitenlängen 40 cm und 25 cm soll man einen kasten ohne deckel herstellen indem man an jeder ecke ein quadrat ausschneidet und die entstehenden seitenflächen nach oben biegt. Der kasten soll ein möglichst großes volumen haben.
Ich weiß, die Aufgabe wurd eheir shcon ansatzweise gelöst, dennoch komme ich nicht weiter. Ic hbin bis jetzt so weit gekommen :
Rechteck : u = 2a + 2b ; A= a *b
Rechteck : 40-2x und 25-2x
Dann habe ich also (40-2x)(25-2x)
V = x (40-2x)(25-2x)
f ( x) = x(40-2x)(25-2x) ----> Max
wollte dann nach x auflösen durchausklammern :
x (100-130x + 4x²)
100x- 130x² + 4x³
ausklammern : x ( 100-130x+ 4x²)
und genau an dieser Stelle komme ich dann nicht weiter :-(
Leider habe ich noch eine Aufgabe, wo cih fast am verzweifeln bin, sie lautet:
Aus einem rechteckigen Stück Blech gegebener Länge und der Breite 49 cm soll eine gleich lange Röhre mit möglichst großem, rechteckigem Querschnitt gewonnen werden.
Mir ist klar, das es heir um das Maximum geht, doch leider reden die zuerst vom Recheckt, oder eher wie ich das verstehe Quader, da ja länge und breite gleich ist, also habe ich schon mal die Nebenbedingung u= 196
und A= 2401
Doch nun weiß ichüberhaupt nicht weiter, da nunmal zuerst von nmer röhre die red eist, dann von einem reckteckigem Querschnitt,
Hoffe ihr könnte mir helfen, vielen dank shcon mal an alle, die das lesen und versuchen mir zu helfen ! ! !
Maggie
|
|
| |
|
Hallo Maggie und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> aus einem rechteckigen stück pappe mit den seitenlängen 40
> cm und 25 cm soll man einen kasten ohne deckel herstellen
> indem man an jeder ecke ein quadrat ausschneidet und die
> entstehenden seitenflächen nach oben biegt. Der kasten soll
> ein möglichst großes volumen haben.
> Ich weiß, die Aufgabe wurd eheir shcon ansatzweise gelöst,
> dennoch komme ich nicht weiter. Ic hbin bis jetzt so weit
> gekommen :
> Rechteck : u = 2a + 2b ; A= a *b
> Rechteck : 40-2x und 25-2x
> Dann habe ich also (40-2x)(25-2x)
> V = x (40-2x)(25-2x)
> f ( x) = x(40-2x)(25-2x) ----> Max
Na, das sieht doch schon recht gut aus. Wenn ich jetzt nichts übersehen habe, dann ist das alles so richtig. Aber was musst du denn machen, um das Maximum zu finden? Das ist doch genauso, wenn du bei einer "ganz normalen Funktion" einen Hochpunkt suchst. Also: Ableitung bestimmen, gleich Null setzen, zweite Ableitung überprüfen (die muss <0 sein für einen Hochpunkt). Ok?
> wollte dann nach x auflösen durchausklammern :
> x (100-130x + 4x²)
> 100x- 130x² + 4x³
> ausklammern : x ( 100-130x+ 4x²)
>
> und genau an dieser Stelle komme ich dann nicht weiter :-(
Warum willst du das denn überhaupt machen? Eine Funktion nach x auflösen? Wozu? Wie du vorgehen musst, habe ich dir ja gerade schon beschrieben. 
Und noch ein Tipp: wenn du zwei Fragen hast, dann stelle sie beide einzeln, sonst wird die Diskussion zu konfus und deine Helfer wissen nachher gar nicht mehr, wie die Aufgabe jetzt hieß...
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
|
| |
|
So, habe ja soweit verstanden ,was du mir hier sagen wolltest zu der ersten Aufgabe, so, ich hatte ja
f ( x) = x(40-2x)(25-2x) ----> Max dann
f´(x) = 1 (40-2)(25-2) = 0
<=> 38 mal 23 = 874
Aber was ist denn jetzt 874, weil das x ist ja durch die ableitugnen weggefallen ???
UNd die zweite Ableitung wäre dann ja null, also weder Maxi noch Minimalwert ???
|
|
|
| |
|
Hallo Maggie!
> f ( x) = x(40-2x)(25-2x) ----> Max dann
> f´(x) = 1 (40-2)(25-2) = 0
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Diese Ableitung ist falsch!!
Du musst hier entweder mit der  Produktregel (und zwar doppelt angewendet) arbeiten, oder Du multiplizierst vorher mal Deinen Funktionsterm aus.
Ich würde hier den 2. Weg favorisieren:
$f(x) \ = \ x*(40-2x)*(25-2x) \ = \ [mm] x*\left(1000-80x-50x+4x^2\right) [/mm] \ = \ [mm] x*\left(4x^2-130x+1000\right) [/mm] \ = \ [mm] 4x^3-130x^2+1000x$
[/mm]
Und hiervon sollte die Ableitung ja nun machbar sein, oder?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Danke Roadrunner !
Klar, die ABleitung ist dann
f´(x) = 12x² - 260x + 1000 =0
x² - [mm] \bruch{260}{12}+ \bruch{1000}{12}=0
[/mm]
( x - [mm] \bruch{130}{12} [/mm] = [mm] \bruch{16900}{144} [/mm] - [mm] \bruch{1000}{12} [/mm] = [mm] \bruch{4900}{144}
[/mm]
x - [mm] \bruch{130}{12}= [/mm] +- [mm] \bruch{70}{12}
[/mm]
X = [mm] \bruch{130}{12}
[/mm]
x1 = [mm] \bruch{50}{3}
[/mm]
x2 = -5
eine von den beiden x werten gibt ja die höhe an nur leider weiß cih ja ncit welche, also welches x ich wo in V = x (40-2x)(25-2x) einsetzten muss, weil da gibt es bestimmt einen unterschied oder ???
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich hoffe, ich habe die Aufgabe jetzt noch richtig im Kopf (es gibt übrigens auch einen "Zitieren-Button", den man oft genug benutzen sollte.
> Danke Roadrunner !
> Klar, die ABleitung ist dann
> f´(x) = 12x² - 260x + 1000 =0
> x² - [mm]\bruch{260}{12}+ \bruch{1000}{12}=0[/mm]
>
> ( x - [mm]\bruch{130}{12}[/mm] = [mm]\bruch{16900}{144}[/mm] -
> [mm]\bruch{1000}{12}[/mm] = [mm]\bruch{4900}{144}[/mm]
>
> x - [mm]\bruch{130}{12}=[/mm] +- [mm]\bruch{70}{12}[/mm]
> X = [mm]\bruch{130}{12}[/mm]
> x1 = [mm]\bruch{50}{3}[/mm]
> x2 = -5
Ich komme da auf [mm] x_2=5 [/mm] - könntest du das nochmal überprüfen?
> eine von den beiden x werten gibt ja die höhe an nur leider
> weiß cih ja ncit welche, also welches x ich wo in V = x
> (40-2x)(25-2x) einsetzten muss, weil da gibt es bestimmt
> einen unterschied oder ???
Naja, also wenn [mm] x_2=-5 [/mm] ist - kann das denn sein? Kann es in diesem angewandten Beispiel negative x-Werte geben? 
Für x=5 müsstest du dann aber noch die zweite Ableitung prüfen. Denn du willst ja einen Hochpunkt haben, also muss die zweite Ableitung <0 sein. Naja, und falls du dann immer noch zwei Lösungen hast, dann rechne doch mal mit beiden Lösungen weiter. Du müsstest feststellen, dass es am Ende doch wieder auf dasselbe rauskommt, weil ja a und b zusammenhängen (falls du nach dem Rechnen verstehst, was ich meine...).
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
Hbe jetzt auch auch x2 = 5 raus (dummer rechenfehler)
und habe es auch überprüft, nur 5 kann absoluter Hochpunkt sein, weil das dann ein die zweite BAleitung kleiner als 0 ergibt.
So dann ahbe cih in die Formel für das Volumen eingesetzt , die cih vorher schon hatte : V= x(40-2x)(25-2x)
= 2 * 450
V = 2250
Ist das richtig ???
|
|
|
| |
|
Hallo Maggie!
Dieses Ergebnis habe ich auch ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !!!
Mich irritiert nur diese Zwischenzeile mit $... \ = \ 2*450 \ = \ ...$ ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo Maggie087,
> Hbe jetzt auch auch x2 = 5 raus (dummer rechenfehler)
> und habe es auch überprüft, nur 5 kann absoluter Hochpunkt
> sein, weil das dann ein die zweite BAleitung kleiner als 0
> ergibt.
> So dann ahbe cih in die Formel für das Volumen eingesetzt
> , die cih vorher schon hatte : V= x(40-2x)(25-2x)
> = 2 * 450
> V = 2250
>
> Ist das richtig ???
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
Ja, habe mich da wohl vershcirbeen, meinte eignetlich 2 * 450
Dankeschön an euch beiden, dass ihr mir geholfen habt, mal einen durchblick in mathe zu bekommen ! ! !
Könntet ihr vllt nboch ne Aufgabe nachschaun, ahbe die nämlich auch als HA auf, konnte die aber eingtlich lösen, (glaube ich zumindest), also sie lautet:
Aus einem 36 cm langen Draht soll das Kantenmodell einer quadratischen Säule hergestellt werden. Wie lang sind die Kanten zu wählen, damit die Säule maximales Volumen hat?
Dann habe cih als Nebenbedingung : u= 4a; 36= 4a
und V= a² * h
Zielfunktion:
f (a²;h) = a² * h -----> max
Nach a auflösen : 36 = 4a ; a = 9
F(h) = 9² * h = 81 * h
F(h) = 81 h
F´(h) = 0 <=> 81
u= 9 und F 0 729 m ²
Dankeschön ! ! !
|
|
|
| |
|
Hallo Maggie!
Bitte eröffne doch für eine neue Aufgabe das nächste Mal auch einen neuen Thread, danke!
> Dann habe cih als Nebenbedingung : u= 4a; 36= 4a
> und V= a² * h
Der Umfang des Quaders umfasst doch zweimal das Quadrat der Grundfläche sowie 4mal die Höhe:
$U \ = \ 2*4*a + 4*h \ = \ 8a + 4a \ = \ 36$
Damit stimmt der Rest auch nicht!
Ich erhalte (bitte nachrechnen): $a \ = \ h \ = \ 3$ sowie [mm] $V_{max} [/mm] \ = \ 27$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Do 22.09.2005 | | Autor: | Maggie087 |
Ok,das gleiche Ergebniss habe ich auch raus, danke güt die Bemühungen
|
|
|
| |
|
Hallo Maggie!
Im Vorfeld solcher Aufgaben sollte man sich auch Gedanken über den Definitionsbereich für die Variable (hier: $x_$) machen.
Da die Pappe ja nur 25cm breit ist, kann ich auch nur maximal [mm] $\bruch{25}{2} [/mm] \ = \ 12,5 \ cm$ einschneiden.
Der rechnerische Wert von [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{50}{3} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 16,67 \ cm \ > \ 12,5 cm$ ist also im Sinne der Aufgabenstellung nicht sinnvoll und braucht nicht weiter verfolgt werden.
Gruß vom
Roadrunner
PS: Auch ich habe als 2. Lösung erhalten: [mm] $x_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{+}5$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal!
> Leider habe ich noch eine Aufgabe, wo cih fast am
> verzweifeln bin, sie lautet:
> Aus einem rechteckigen Stück Blech gegebener Länge und der
> Breite 49 cm soll eine gleich lange Röhre mit möglichst
> großem, rechteckigem Querschnitt gewonnen werden.
>
> Mir ist klar, das es heir um das Maximum geht, doch leider
> reden die zuerst vom Recheckt, oder eher wie ich das
> verstehe Quader, da ja länge und breite gleich ist, also
> habe ich schon mal die Nebenbedingung u= 196
> und A= 2401
> Doch nun weiß ichüberhaupt nicht weiter, da nunmal zuerst
> von nmer röhre die red eist, dann von einem reckteckigem
> Querschnitt,
Also, ich glaube, du verstehst die Aufgabe irgendwie falsch. Wie kommst du denn hier auf die Zahlen für u und A? Ich verstehe die Aufgabe folgendermaßen:
Du hast ein rechteckiges Stück Blech. Die Breite kennst du, sie beträgt 49 cm. Die Länge kennst du nicht, aber du brauchst sie auch nicht. Nur soll die Röhre, die du machst, genauso lang sein wie das Blech, das heißt, wenn du dir statt Blech ein Poster vorstellst, dann würdest du die Röhre machen, indem du die lange Seite direkt vor dir liegen hast und dann das Poster von dir weg einfach einrollst. (Oder eine andere Beschreibung: du kannst ein Poster ja auf zwei Arten einrollen, einmal so, dass es nachher so lang ist, wie die lange Seite oder so wie die kurze Seite. Und hier soll es eben so breit sein wie die lange Seite.)
Ich würde sagen, das mit der Länge des Blechs und der Röhre ist nur zur Verwirrung, was du eigentlich haben willst ist ja der größte Querschnitt ich glaube, damit ist hier die größte "Fläche" gemeint (es ist keine wirkliche Fläche, sondern eigentlich eher ein Loch. Also das, wodurch du bei deinem Poster durchgucken könntest. Nur beim Poster ist es rund und hier ist es halt rechteckig.).
Wir hätten also als Extremalbedingung: A=x*y. Und die Nebenbedingung ergibt sich daraus, dass du aus den 49 cm ein Rechteck machen sollst, also quasi einen 49 cm langen Faden zu einem Rechteck zu legen. Dann hast du die Nebenbedinung: 2x+2y=49. Kommst du jetzt alleine weiter?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
|
|
|
| |
|
Danke schön Bastiane ! ! !
HAbe es dann also jetzt mit der zweiten Aufgabe versucht :
Zielfunktion: f (a;b) = a * b ---> max
nach b auflösen :
49 = 2a + 2b
2b = 49-2a
b = 49/2 -a
f (a) = a ( 49/2 -a) = 49/2a -a²
f (a) = 49/2a -a²
f´(a)= 49/2 -2a
f´(a)= 0 = 49/2 -2a = 0
2a = 49/2
a= 49/4
f´´(a) = -2 < 0 ----> absoluter Hochpunkt
einsetzten : 49/2 -a = 49/2 - 49/4 = 49/4
DIe größte Fläche wird für a = 49/4 und b = 49/4 angenommen
Ist da richtig ???
Vielen vielen dank für deine Mühen ! ! !
|
|
|
|
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
