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Extremwertstelle bei Messreihe: Probleme bei Berechnung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Fr 26.06.2015
Autor: magics

Aufgabe
Gegeben sei eine Messreihe [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n} [/mm] mit dem arithmetischen Mittel [mm] \overline{x}. [/mm]
Ferner sei eine Funktion f : R -> R definiert durch

f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_{i}-x)^{2} [/mm]

Man zeige:

f hat an der Stelle x = [mm] \overline{x} [/mm] ein absolutes Minimum.

Hallo!

Um diese Aufgabe zu lösen wollte ich den klassischen Weg aus der Kurvendiskussion wählen.

Ausgehend von
f(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_{i}-x)^{2} [/mm]
habe ich die erste und zweite Ableitungs gebildet:
f'(x) = [mm] \summe_{i=1}^{n}2(x_{i}-x) [/mm]
f''(x) =  [mm] \summe_{i=1}^{n}(-2) [/mm] = -2n

Setze ich nun f'(x) = 0, bekomme ich am Ende
x = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i} [/mm] = [mm] \overline{x} [/mm]
heraus, was bedeutet, dass dort tatsächlich eine Extremstelle ist.

Doch wie die zweite Ableitung bereits verrät, handelt es sich bei dieser um ein Maximum und KEIN Minimum. Das Lehrbuch spricht aber von einem Minimum.

Da in dem Lehrbuch ein anderer Rechenweg verwendet wird, der leider nichts mit dieser Kurvendiskussion zu tun hat, bin ich erst recht verwirrt...

Habe ich einen (Denk)Fehler gemacht?

lg

p.s. Ich habe die Frage nur hier gestellt.

        
Bezug
Extremwertstelle bei Messreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Fr 26.06.2015
Autor: Chris84


> Gegeben sei eine Messreihe [mm]x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n}[/mm] mit dem
> arithmetischen Mittel [mm]\overline{x}.[/mm]
>  Ferner sei eine Funktion f : R -> R definiert durch

>  
> f(x) = [mm]\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-x)^{2}[/mm]
>  
> Man zeige:
>  
> f hat an der Stelle x = [mm]\overline{x}[/mm] ein absolutes
> Minimum.
>  Hallo!
>  
> Um diese Aufgabe zu lösen wollte ich den klassischen Weg
> aus der Kurvendiskussion wählen.
>  
> Ausgehend von
> f(x) = [mm]\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-x)^{2}[/mm]
>  habe ich die erste und zweite Ableitungs gebildet:
>  f'(x) = [mm]\summe_{i=1}^{n}2(x_{i}-x)[/mm]

Du hast in der Summe die Kettenregel vergessen. Es ist

[mm] $\frac{d}{dx} \left(x_i-x\right)^2= [/mm] - 2 [mm] (x_i-x) [/mm] $

Dadurch wird auch deine 2. Ableitung um ein VZ falsch!


>  f''(x) =  [mm]\summe_{i=1}^{n}(-2)[/mm] = -2n
>  
> Setze ich nun f'(x) = 0, bekomme ich am Ende
>  x = [mm]\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}[/mm] = [mm]\overline{x}[/mm]
>  heraus, was bedeutet, dass dort tatsächlich eine
> Extremstelle ist.
>  
> Doch wie die zweite Ableitung bereits verrät, handelt es
> sich bei dieser um ein Maximum und KEIN Minimum. Das
> Lehrbuch spricht aber von einem Minimum.
>  
> Da in dem Lehrbuch ein anderer Rechenweg verwendet wird,
> der leider nichts mit dieser Kurvendiskussion zu tun hat,
> bin ich erst recht verwirrt...
>  
> Habe ich einen (Denk)Fehler gemacht?
>  
> lg
>  
> p.s. Ich habe die Frage nur hier gestellt.

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Extremwertstelle bei Messreihe: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:34 Fr 26.06.2015
Autor: magics

Au man danke! Hängt mal wieder an den Grundlagen.

lg

Bezug
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