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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - F-Verteilung
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F-Verteilung: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:42 Do 23.04.2020
Autor: sancho1980

Hallo,

eins vorneweg: Diese Frage ist zur F-Verteilung. Bitte nicht drüber wundern, dass ich gleichzeitig einen anderen Thread mit einer ähnlichen Frage zur T-Verteilung habe.

In meinem Buch wird die T-Verteilung  vorgestellt; für meine Begriffe leider etwas zu kurz:

Definition F-Verteilung:

"Seien [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] unabhängige Zufallsvariablen, die [mm] \chi^2-verteilt [/mm] mit [mm] m_1 [/mm] bzw. [mm] m_2 [/mm] Freiheitsgraden sind. Dann heißt die Verteilung von

X = [mm] \bruch{X_1/m_1}{X_2/m_2} [/mm]

F-Verteilung (oder Fisher-Verteilung) mit den Freiheitsgraden [mm] m_1 [/mm] und [mm] m_2..." [/mm]

Danach wird noch ein Bisschen auf die Eigenschaften der Veteilung eingegangen und dann folgt einfach folgender Satz:

"Seien [mm] {S_1}^2 [/mm] und [mm] {S_2}^2 [/mm] die Varianzen von zwei unabhängigen zufälligen Stichproben vom Umfang [mm] n_1 [/mm] bzw. [mm] n_2, [/mm] die aus zwei normalverteilten Grundgesamtheiten stammen. Dann besitzt die Zufallsvariable

X = [mm] \bruch{{S_1}^2 {\sigma_2}^2 }{{S_2}^2 {\sigma_1}^2} [/mm]

eine F-Verteilung mit den Freiheitsgraden [mm] m_1 [/mm] = [mm] n_1 [/mm] - 1 und [mm] m_2 [/mm] = [mm] n_2 [/mm] - 1."

Meine Frage hierzu: Wie hängen [mm] \bruch{X_1/m_1}{X_2/m_2} [/mm] und [mm] \bruch{{S_1}^2 {\sigma_2}^2 }{{S_2}^2 {\sigma_1}^2} [/mm] zusammen?

1) Welche Entsprechungen gibt es in der Formel für X für die Variablen [mm] X_1, m_1, X_2 [/mm] und [mm] m_2? [/mm]
2) Wieso hat eine Zufallsvariable zwei Freiheitsgrade, und wieso betragen die [mm] n_1 [/mm] - 1 bzw [mm] n_2 [/mm] - 1?

Komme mir hier leider total doof vor. Das steht alles relativ kompakt dar, und ich verstehe gar nicht so richtig, was das Ganze soll. Vielleicht ist es auch nur als Exkurs gemeint ...

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
F-Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:05 Do 23.04.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meine Frage hierzu: Wie hängen [mm]\bruch{X_1/m_1}{X_2/m_2}[/mm]
> und [mm]\bruch{{S_1}^2 {\sigma_2}^2 }{{S_2}^2 {\sigma_1}^2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> zusammen?

Wir schreiben das mal kurz etwas um als $\frac{\left(\frac{S_1}{\sigma_1}\right)^2}{\left(\frac{S_2}{\sigma_2}\right)^2$

Wenn wir das nun vergleichen mit  [mm]\bruch{X_1/m_1}{X_2/m_2}[/mm] erkennen wir, dass das offensichtlich gleich verteilt wäre, wenn

[mm] $\left(\frac{S_i}{\sigma_i}\right)^2 \sim \frac{X_i}{m_i}$ [/mm] mit [mm] $m_i [/mm] = [mm] n_i [/mm] - 1$. Das ist praktischerweise auch der Fall. Warum?

Geh dafür schrittweise vor:
1.) Wie ist denn [mm] $S_i$ [/mm] verteilt?
2.) Wie ist dann [mm] $Z=\frac{S_i}{\sigma_i}$ [/mm] verteilt?
3.) Wie ist dann [mm] $Z^2$ [/mm] verteilt?

Deine Fragen erübrigen sich dann vermutlich…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
F-Verteilung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 07:43 Di 28.04.2020
Autor: sancho1980


> Geh dafür schrittweise vor:
>  1.) Wie ist denn [mm]S_i[/mm] verteilt?
>  2.) Wie ist dann [mm]Z=\frac{S_i}{\sigma_i}[/mm] verteilt?
>  3.) Wie ist dann [mm]Z^2[/mm] verteilt?

Ok, jetzt verstehe ich zumindest den Zusammenhang zwischen [mm] \bruch{X_1 / m_1}{X_2 / m_2} [/mm] und [mm] \bruch{{S_1}^2 {\sigma_2}^2}{{S_2}^2 {\sigma_1}^2}, [/mm] obwohl ich bei deinen Fragen 1) und 2) passen muss. Aber offensichtlich gilt

[mm] (\bruch{S_i}{\sigma_i})^2 [/mm] = [mm] \bruch{X_i}{n - 1} [/mm] mit [mm] X_i [/mm] := [mm] \bruch{(n - 1){S_i}^2}{{\sigma_i}^2}, [/mm] daher [mm] X_i \sim \chi^2_{n-1} [/mm]

Nach der Diskussion um das Thema Freiheitsgrade ist mir nun aber immer noch nicht klar, was die Bedeutung der Aussage ist, dass eine Zufallsvariable nun zwei Freiheitsgrade hat.

Danke und Gruß,

Martin

Bezug
                        
Bezug
F-Verteilung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:20 Do 30.04.2020
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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