FA:Kransteuerung Zylinderkoor. < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Pelztier |
| Aufgabe | Da ich eine Facharbeit schreibe (Steuerung eines Krans als Anwendung von Zylinderkoordinaten) und es somit keine klaren Aufgabestellungen gibt formuliere ich die Aufgabe einmal selber.
Ermitteln sie die Länge der Kurve auf der sich die Last bewegt.
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Meine Idee war die Bewegungsgleichung der Last auf den Winkel und den Radius zu reduzieren und von Zylinderkoordinaten in Kartesische Koordinaten umzuwandeln, um anschließend durch das Verknüpfen der zwei entstehenden Gleichungen eine Funktion ohne den Parameter zu erhalten.
Auf diese wollte ich dann den Satz zur Längenberechnung eines Kurvenstückes anwenden um zum gewünschten Ergebniss zu kommen.
Bewegunsgleichung in Zylinderkoordinaten (Höhe ist unwichtig für die Betrachtung der Länge des Kurvenstückes):
x = ( R1) + t * (R2-R1)
(Alpha1) (Alpha2-Alpha1)
R1 entspricht dem Radius des Startpunktes Alpha1 dem Winkel dessselbigen.
R2 und Alpha2 logischerweise dann für den des Endpunktes.
Das Umformen in Kartesische geth simpel mit:
x = cos(alpha) * R
sowie
y= sin(alpha) * R
Wendet man das auf die Bewegunsgleichung an, bekommt man zwei Ausdrücke in denen jeweils 2 mal der Parameter t vorkommt (einmal im Argument und noch einmal als Bestandteil von R).
Ich vermute, dass man t nicht eliminieren kann und somit einen anderen Ansatz verfolgen muss.
Idealerweise gleich in Zylinderkoordinaten und nicht in den umgewandelten kartesischen.
Kann mir jemand so einen Ansatz geben? Vllt überhaupt Formeln mit denen die Längenermittlung in Zylinderkoordinaten möglich ist?
Freue mich über jede Hilfe, Gruß Niels
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Mi 24.05.2006 | | Autor: | Wolferl |
Hallo Pelztier,
ich muss zugeben, dass ich nicht so richtig verstehe, was Du da geschrieben hast. Hier ist mein Vorschlag, die Facharbeit anzugehen:
Die Ausgangsfrage ist für mich, wie ein Kran gebaut ist. Das ist ein hoher, drehbarer Turm mit einem Ausleger, an dem die Last an einem Seil hängt. Das Seil kann kürzer oder länger gemacht werden. Auf diese Weise kann die Last im 3-dimensionalen Raum bewegt werden. Es braucht also 3 voneinander unabhängige Zahlen, um die Lage der Last zu beschreiben (genannt Koordinaten).
So wie der Kran konstruiert ist, eignen sich folgende Korrdinaten dafür:
1. Drehwinkel des Turms [mm] \alpha[/mm]
2. Abstand der Last von der Drehachse des Turms [mm]r[/mm]
3. Höhe der Last über der Standhöhe des Krans [mm]h[/mm]
Damit habe ich 3 Zahlen (Koordinaten) mit denen die Lage der Last im Raum vollständig beschrieben wird, und die der Konstruktion des Krans angepasst sind. In der Ebene verwende ich Polarkoordinaten.
Nun ist z.B. folgende Fragestellungen für die Steuerung des Krans interessant: Wie muss das Sei, an dem die Last hängt, gesteuert werden, wenn die Last bewegt wird? Wenn z.B. die Last am Ausleger nach aussen oder innen gefahren wird, muss die Länge des Seils korrigiert werden, damit sich die Höhe der Last nicht gleichzeitig verändert.
Dann kannst Du Dir überlegen, wie das Seil, der Motor, der den Kran dreht, und der Ausleger gesteuert werden müssen, wenn die Last an einen bestimmten Punkt im Raum (angegeben in einem rechtwinkligen Koordinatensystem [mm]x_1, x_2, x_3[/mm]) bewegt werden soll. Dazu müssen die verwendeten "Kran-Koordinaten" in rechtwinklige Koordinaten transformiert werden.
Ich hoffe, Dir mit meinem Vorschlag weiter geholfen zu haben.
Liebe Grüße, Wolferl
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