Fadenpendel < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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Moin moin ersteinmal an alle,
ich hab' mal irgendwann langeweile gehabt, und habe mal n bischen übers fadenpendel nachgedacht, und hab mich gefragt, ob man die perioddendauer auch exact ausrechnen kann? ich weiß, wie man auf die näherung
[mm] T=2*\pi*\wurzel{\bruch{l}{g}} [/mm]
, aber kann man auch irgendwie die genaue periodendauer ohne die näherung [mm] sin( \alpha ) \approx \alpha [/mm] kommen?
ich weiß das für die beschleunigungen gilt:
[mm]
radial: [mm] a_{r}(t)=-\bruch{g}{l}*sin(\phi(t))
[/mm]
winkelbezogen: [mm] \alpha(t)=-g*sin(\phi(t))
[/mm]
höhenbezogen: [mm] a_{h}(t)=-\bruch{g}{l}*sin^{2}(\phi(t))
[/mm]
für die geschwinigkeiten muss gelten:
radial: [mm] v_{r}(t)=z(t)*\wurzel{2*g*l*(cos(\phi(t))-cos(\phi_{0}))}
[/mm]
winkelbezogen: [mm] \omega(t)=z(t)*\wurzel{\bruch{2*g}{l}*(cos(\phi(t))-cos(\phi_{0}))}
[/mm]
höhenbezogen: [mm] v_{h}(t)=z(t)*\wurzel{2*g*l*(cos(\phi(t))-cos(\phi_{0}))}*sin(\phi(t))
[/mm]
mit [mm] z(t)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } k*T
und da es sich ja um eine harmonische schwingung handelt, gilt ja:
radial: [mm] x(t)=\phi_{0}*l*cos(\bruch{2*\pi}{T}*t)
[/mm]
winkelbezogen: [mm] \phi(t)=\phi_{0}*cos(\bruch{2*\pi}{T}*t)
[/mm]
höhenbezogen: [mm] h(t)=l*(1-cos(\phi(t)))
[/mm]
ich kann die herleitung dafür und grafik auch posten, nur hab ich dafür gerade keine zeit die zu erstellen, tu mir leid
das hab ich alles recht leicht rausbekommen, aber wmeine frage ist eben: kann ich auch auf eine genaue formel für die periodendauer kommen, und wenn ja ,wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Do 24.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Dgl scheinen richtig zu sein, also die Beschleunigungen.
Wie du auf die Geschwindigkeiten kommst versteh ich nicht!
es müsste ja gelten v'=a , da kommt aber was ganz anderes raus.
Aber bei dem echten Fadenpendel hat man KEINE harmonische Schwingung, deshalb auch NICHT x(t)=A*coswt! das gibts NUR wenn x''=-k*x also für die kleinwinkelnäherung. Für grosse Winkel ist T Amplitudenabh. und man hat auch keine cos oder sin fkt. mehr.
ich kenn nur numerische Integration der Dgl. um zu einem nfangsauschlag die Schwingungsdauer zu bestimmen.
Gruss leduart
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Hallo!
Es gibt meines Wissens nach tatsächlich eine analytische Lösung für das Problem, ich meine, sie steht in Greiner: Theoretische Physik I oder II. Das Buch liegt bei mir zu Hause, wo ich aber erst morgen wieder sein werde.
Jedenfalls ist das Buch eigentlich sehr, sehr knapp gehalten, dennoch geht diese Rechnung dort über zwei Seiten und enthält ein paar ganz böse Tricks.
Ich schau auf jeden Fall mal nach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:32 Fr 25.05.2007 | | Autor: | phili_guy |
also, dankeschön an euch beide, und wenn du etwas findest, fände ich's klasse, wenn du's mir mitteilen könntest @event_horizon
auf die geschwindigkeit komme ich wie folgt:
[mm] E_{kin}+E_{pot}=E_{potmax}
[/mm]
[mm] 0.5*m*v^{2}+m*g*h=m*g*h_{max}
[/mm]
<=> [mm] v^{2}=2*g*(h_{max}-h)
[/mm]
[mm] h=l(1-cos(\phi))
[/mm]
[mm] v^{2}=2*g*l(1-cos(\phi_{0})-1+cos(\phi(t))
[/mm]
[mm] |v|=\wurzel{2*g*l(cos(\phi(t))-cos(\phi_{0}))}
[/mm]
und dann muss man halt wegen dem vorzeichen überlegen, und es gilt ja,
[mm] \omega=v/r [/mm] , wenn man das problem für v gelöst hat, ist [mm] \omega [/mm] nciht mehr schwer.
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Hi!
Also, ich konnte es jetzt leider nicht online stellen, aber ich machs noch. Es sind allerdings etwa 4 Seiten, und auch keine absolut exakte Lösung.
Ich werde das sicherlich nicht TeXen, aber einscannen. Dauert nur noch etwas.
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So, ich habs. Ich denke, das ist alles sehr leicht verdauliche Kost, hätte einem eigentlich schon in der 9, Klasse klar sein müssen...
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