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Faktorgruppe: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:38 Di 25.05.2004
Autor: Nick

Hallo allezusammmen,

ich habe diese Aufgabe und ich habe grad keine Aghnung wie ich da ran gehen soll.

Es seien [mm]n,m\in\IN[/mm]. Zeigen Sie, dass [mm]\IZ^n \cong \IZ^m[/mm] genau dann gilt, wenn [mm]n=m[/mm] ist.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass für eine abelsche Gruppe A und eine Primzahl p die Faktorgruppe [mm]A/pA[/mm] als [mm]\IZ_p[/mm]-Vektorraum betrachtet werden kann (wie?).

Danke schon im voraus

Nick

        
Bezug
Faktorgruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:26 Di 25.05.2004
Autor: Stefan

Hallo Nick,

nehmen wir mal an, wir hätten den Hinweis gezeigt.

Dann würde für eine Primzahl $p$ aus der Gruppenisomorphie

[mm] $\IZ^n \cong \IZ^m$ [/mm]

die [mm] $\IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$-Vektorraumisomorphie [/mm]

[mm] $\IZ^n/p\IZ^n \cong \IZ^m/p\IZ^m$ [/mm]

folgen.

Nun ist aber (als [mm] $\IZ_p$-Vektorräume!): [/mm]

[mm] $\IZ^n/p\IZ^n \cong (\IZ/p\IZ)^n$ [/mm]

und

[mm] $\IZ^m/p\IZ^m \cong (\IZ/p\IZ)^m$. [/mm]

Wir hätten also:

[mm] $K^n \cong K^m$ [/mm]

für den Primkörper [mm] $K=\IZ_p [/mm] = [mm] \IZ/p\IZ$. [/mm]

Daraus folgt aber bekanntlich $n=m$ (eindeutige Länge der (Standard-)Basis).

Naja, jetzt musst du noch den Hinweis zeigen. Aber einen eigenständigen Versuch oder wenigstens eine Idee will ich da wenigstens schon mal sehen!

Liebe Grüße
Stefan




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