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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 Sa 20.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Hi,
und zwar frage ich mich, was ich aus der Aussage "Sei A eine abelsche Gruppe mit [mm] |A/2A|<\infty" [/mm] rausholen kann.
Kann ich nun mit dem Satz von Lagrange schließen, dass folgendes gilt:
[mm] \frac{|A|}{|2A|}=|A/2A|<\infty
[/mm]
Und daher ist auch [mm] |A|<\infty?
[/mm]
Gruß
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:30 Sa 20.11.2010 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Hi,
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> und zwar frage ich mich, was ich aus der Aussage "Sei A
> eine abelsche Gruppe mit [mm]|A/2A|<\infty"[/mm] rausholen kann.
> Kann ich nun mit dem Satz von Lagrange schließen, dass
> folgendes gilt:
> [mm]\frac{|A|}{|2A|}=|A/2A|<\infty[/mm]
> Und daher ist auch [mm]|A|<\infty?[/mm]
Ich weiß auch nicht was du folgern kannst, aber das, was du gemacht hast, geht sicher nicht. Überlege es dir am Beispiel der abelschen Gruppe [mm] $\IZ$. [/mm] Es ist [mm] $|\IZ/2\IZ|$=2<\infty, [/mm] aber [mm] |\IZ| [/mm] hat keine endliche Ordnung.
Viele Grüße, Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 So 21.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Thomas!
> und zwar frage ich mich, was ich aus der Aussage "Sei A
> eine abelsche Gruppe mit [mm]|A/2A|<\infty"[/mm] rausholen kann.
> Kann ich nun mit dem Satz von Lagrange schließen, dass
> folgendes gilt:
> [mm]\frac{|A|}{|2A|}=|A/2A|<\infty[/mm]
> Und daher ist auch [mm]|A|<\infty?[/mm]
Dass $|A| < [mm] \infty$ [/mm] nicht sein muss hatten wir ja schon.
Daraus folgt z.B., dass die 2-Sylow-Untergruppe von $A$ endlich ist.
Fuer alle anderen Primzahlen $p$ laesst sich jedoch nichts ueber die $p$-Sylow-Untergruppe aussagen. (Dazu muesste man $A/pA$ anschauen.)
Weiterhin: ist $A$ eine freie abelsche Gruppe (also isomorph [mm] $\bigoplus_{i\in I} \IZ$), [/mm] so ist $A/2A$ isomorph zu [mm] $\bigoplus_{i\in I} (\IZ/2\IZ)$, [/mm] womit $|A/2A| = [mm] 2^{|I|}$ [/mm] ist. In dem Fall folgt also, dass $A$ endlich erzeugt ist.
(Im allgemeinen muss $|A/2A| < [mm] \infty$ [/mm] nicht erzwingen, dass $A$ endlich erzeugt ist: ist $A$ etwa 2-teilbar, also $2 A = A$, so folgt immer $|A/2A| = 1$, jedoch muss $A$ nicht endlich erzeugt sen, wie die Gruppe $A = [mm] \IQ/\IZ$ [/mm] zeigt.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Di 30.11.2010 | | Autor: | ThomasTT |
Vielen Dank.
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