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Forum "Algebra" - Faktorgruppe, isom. Einbettung
Faktorgruppe, isom. Einbettung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Faktorgruppe, isom. Einbettung: Diverse Fragen zum Thema
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:24 Mo 25.07.2011
Autor: rammy

Aufgabe
Beim Lernen für die Algebra Prüfung stehe ich einigen Unklarheiten bevor:


1.) G/G={G} das geht mir noch ein, aber das hier:
Warum ist G/G [mm] \cong [/mm] {e}. (Also die Faktorgruppe, G nach G isomorph zu der Menge des neutralen Elements?)

2.)GL(n,K)/SL(n,K) [mm] \cong K\{0\} [/mm]

3.) Was passiert bei der isomorphen Einbettung? Also speziell hier in diesem Schritt, der Rest leuchtet mir in Etwa ein:

[mm] \IC [/mm] = [mm] ((\IRx\IR)\f(\IR)) \cup \IR. [/mm]

Warum wird [mm] f(\IR) [/mm] ausgeschlossen?


        
Bezug
Faktorgruppe, isom. Einbettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Mo 25.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo rammy,


> Beim Lernen für die Algebra Prüfung stehe ich einigen
> Unklarheiten bevor:
>  
> 1.) G/G={G} das geht mir noch ein, aber das hier:
> Warum ist [mm]G/G[/mm] [mm]\cong[/mm] [mm]\{e\}[/mm]. (Also die Faktorgruppe, G nach G
> isomorph zu der Menge des neutralen Elements?)

Ich würde meinen, dahinter steckt der (1.) Isomorphiesatz.

Betrachte den G-Homomorphismus [mm]\varphi:G\to G, g\mapsto e[/mm] ([mm]e[/mm] neutrales Element in [mm]G[/mm])

Dann ist [mm]\operatorname{ker}(\varphi)=G[/mm], also [mm]G/\underbrace{\operatorname{ker}(\varphi)}_{=G}\cong\underbrace{\varphi(G)}_{=\{e\}}[/mm]

>  
> 2.)GL(n,K)/SL(n,K) [mm]\cong K\setminus\{0\}[/mm]

Frage?

>  
> 3.) Was passiert bei der isomorphen Einbettung? Also
> speziell hier in diesem Schritt, der Rest leuchtet mir in
> Etwa ein:
>  
> [mm]\IC[/mm] = [mm]((\IRx\IR)\f(\IR)) \cup \IR.[/mm]

Laut Quelltext: [mm]\IC=((\IR\times\IR)\setminus f(\IR))\cup\IR[/mm]  <-- klick mal drauf!

>  
> Warum wird [mm]f(\IR)[/mm] ausgeschlossen?

Was ist [mm]f[/mm] ??

Gruß

schachuzipus


Bezug
                
Bezug
Faktorgruppe, isom. Einbettung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:57 Mo 25.07.2011
Autor: rammy

Ich danke dir für die kompetente Hilfestellungen / Erklärungen.
Punkt 1 ist mir nun ganz klar.

Bzgl. Punkt 2:
Die spezielle lineare Gruppe nach der allgemeinen linearen Gruppe soll isomorph zu einem Körper K ohne der Nullmenge isomorph sein? Das kann ich irgendwie nicht verstehen, bzw. verstehe ich es doch, aber falsch oder so!

Punkt 3:
Die Funktion f ordnet jedem x den Wert 0 zu, wird deswegen dieses aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, da sonst alle Werte auf 0 abgebildet werden und nicht in der (gausschen) Ebene verteilt bzw. als Punkte angesehen werden?

Bezug
                        
Bezug
Faktorgruppe, isom. Einbettung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 Mo 25.07.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

zu Punkt 2)


> Ich danke dir für die kompetente Hilfestellungen /
> Erklärungen.
>  Punkt 1 ist mir nun ganz klar.

Gut!

>  
> Bzgl. Punkt 2:
> Die spezielle lineare Gruppe nach der allgemeinen linearen
> Gruppe soll isomorph zu einem Körper K ohne der Nullmenge
> isomorph sein? Das kann ich irgendwie nicht verstehen, bzw.
> verstehe ich es doch, aber falsch oder so!

Wie in Punkt 1:

[mm] $\varphi=\operatorname{det}$ [/mm] die Determinantenabb.

[mm] $\operatorname{det}:\operatorname{Gl}(n,\IK)\to \IK\setminus\{0\}, A\mapsto \operatorname{det}(A)$ [/mm]

Invertierbare Matrizen haben nicht verschwindende Determinante.

Was ist der Kern der Determinantenabb.? Was das Bild?

Was gilt demnach nach dem 1.Isom.satz?

Gruß

schachuzipus


Bezug
                        
Bezug
Faktorgruppe, isom. Einbettung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:47 Mo 25.07.2011
Autor: felixf

Moin!

> Punkt 3:
>  Die Funktion f ordnet jedem x den Wert 0 zu, wird deswegen
> dieses aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen, da sonst
> alle Werte auf 0 abgebildet werden und nicht in der
> (gausschen) Ebene verteilt bzw. als Punkte angesehen
> werden?

Ich habe Zweifel, dass es sich um die Funktion $f : [mm] \IR \to \IR \times \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] 0$ handelt. Schreibe bitte mal die formale Definition von $f$ auf.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Faktorgruppe, isom. Einbettung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 27.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Faktorgruppe, isom. Einbettung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 Mi 27.07.2011
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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