Faktorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 So 30.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ein Faktorraum ist ein Unterraum der Verschoben vom Nullpunkt ist.
Stimmt das so?
Jetzt hab ich hier die Aufgabe:
U, [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] seien Unterräume des Vektorraumes V und [mm] U_{1} \subseteq U_{2}.
[/mm]
Jetzt die Frage:
[mm] (U_{2}+ U)/(U_{1} [/mm] + U) ist isomorph zu einem Faktorraum von [mm] U_{2}/U_{1}
[/mm]
Leider weiß ich nicht wie man das Lösen kann.
Kann mir da jemand weiterhelfen?
L.G.
Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 So 30.01.2005 | | Autor: | felixs |
Hallo
> Ein Faktorraum ist ein Unterraum der Verschoben vom
> Nullpunkt ist.
> Stimmt das so?
du verwechselst hier scheinbar 'faktorraum' mit 'affiner raum'.
moeglicherweise klaert sich damit deine aufgabe...
gruss
--felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 30.01.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hi Felix
Ich hat das mal so gelesen,
was ist den der Faktorraum?
mfg
Thomas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Mo 31.01.2005 | | Autor: | felixs |
> was ist denn der Faktorraum?
steht z.b. hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Faktorraum
mehr fragen dazu kannich gerne beantworten, allerdings muesstest du etwas genauer formulieren was du nicht verstehst... :)
gruss
--felix
|
|
|
| |
|
Hallo.
Ein Faktorraum V/U (sprich: V modulo U) zu einem linearen Unterraum U von V ist definiert als die Menge aller v+U, v[mm]\in[/mm]V.
Insofern haben die Begriffe Faktorraum und affiner Unterraum schon etwas miteinander zu tun, denn man kann ja jeden affinen Unterraum als Nebenklasse zu einem linearen Unterraum, dem sog. Richtungsraum schreiben. Um bei dem Beispiel einer Gerade zu bleiben, die nicht durch den Nullpunkt geht, ist der zugehörige Richtungsraum eben die dazu parallele Gerade durch den Ursprung.
Also kann man den Faktorraum auch als Menge aller Nebenklassen (auch: Restklassen, siehe z.B. [mm]\IZ/3\IZ[/mm]) zu einem bestimmten linearen Unterraum auffassen.
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mo 31.01.2005 | | Autor: | pjoas |
Hallo,
schau dir doch mal den Homomorhpiesatz und die Isomorphiesätze genau an. Die Fragestellung riecht zumindest danach. Leider sind mir diese Sätze (*hüstel*) momentan nicht präsent - deswegen nur eine Mitteilung
(Um genau zu sein: dies muesste die Aussage des zweiten Isomorphiesatzes sein)
Gruß, Patrick
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich hoffe, dein Verstaendnisproblem mit Faktorraeumen hat sich inzwischen geklaert.
Wie Patrick schon sagte, ist deine Aufgabe genau die Aussage eines Isomorphiesatzes fuer Vektorraeume.
Alle Isomorphiesaetze basieren auf dem Homomorphiesatz:
Ist [mm]f: V -> W[/mm] eine lineare Abbildung (ein Vektorraum-Homomorphismus) zwischen zwei Vektorraeumen, dann gilt:
Kern(f) ist eine Untervektorraum von V, und der Faktorraum [mm]V / Kern(V)[/mm] ist isomorph zu Bild(f).
Um nun also den Isomorphiesatz zu beweisen, dass
[mm](U_2 + U)/(U_1 + U) \cong U_2 / U_1[/mm]
ist, findest du am besten eine lineare Abbildung f von [mm] U_2 [/mm] nach [mm](U_2 + U)/(U_1 + U)[/mm], die surjektiv ist und den Kern [mm] U_1 [/mm] hat. Wenn du so ein f angeben kannst, dann liefert dir der Homomorphiesatz, dass deine gewuenschte Isomorphie gilt.
Der "offensichtliche" Kandidat fuer f leistet das Gewuenschte:
[mm]f: U_2 \to (U_2 + U)/(U_1 + U)[/mm]
[mm]f(x) := x+(U_1 + U)[/mm]
Gruss,
SirJective
|
|
|
|
