Faktorraum eines Vektorraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Di 21.09.2010 | | Autor: | xubix |
| Aufgabe | Sei V=R³ und U = {(x,y,z)€V|2x-y+z=0} <= V.
[...]
Fortsetzung: Bestimmen Sie rechnerisch (ohne geometrisch zu argumentieren) den Faktorraum V/~U. Beweisen Sie eventuelle Vermutungen! [...] |
Ich habe versucht, dieses Beispiel auf zwei Arten zu lösen:
Einmal über die Definition der linearen Mannigfaltigkeit, dann erhalte ich folgendes:
V/~U = {{v+U}|v€V} =
{{v+u|u€U}|v€V} =
{{v+(x,y,z)|2x-y+z=0}|v€V}
So weit, so gut. Wenn ich das Beispiel jetzt aber über die Definition der Äquivalenzrelation löse (v ~ w <=> v-w € U), dann erhalte ich folgendes:
V/~U = {{u|v-u € U}|v € V}
= [v-u in 2x-y+z=0 eingesetzt und dann alle v's nach rechts und in ein c zusammengefasst] = {{u|2*u1-u2+u3=c}|c € IR}
Jetzt zu meiner Frage: Warum habe ich bei der zweiten Methode ein c als Parameter und bei der ersten nicht? Habe ich einen Fehler gemacht oder gibt es dafür eine Erklärung?
Danke!
P.S.: Bitte verzeiht mir, dass ich nicht das Formelsystem verwendet habe, ich denke dass dieses Beispiel dennoch gut lesbar sein sollte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:17 Di 21.09.2010 | | Autor: | xubix |
Okay, erst denken, dann posten. Ich habe mir die Frage gerade selbst beantwortet; im ersten Fall ist natürlich das v der "Parameter". Bitte ignorieren.
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> Sei V=R³ und U = {(x,y,z)€V|2x-y+z=0} <= V.
> [...]
> Fortsetzung: Bestimmen Sie rechnerisch (ohne geometrisch
> zu argumentieren) den Faktorraum V/~U. Beweisen Sie
> eventuelle Vermutungen! [...]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich möchte Deine Frage lieber doch nicht ignorieren, sondern Dir zeigen, wie es geht. Die passenden Begründungen müßtest Du Dir hier und da noch selbst überlegen.
Dein Untervektorraum U ist zweidimensional, eine Basis ist [mm] (\v_1:=vektor{1\\2\\0}, v_2:=\vektor{1\\0\\-2}).
[/mm]
U wird von diesen beiden Vektoren erzeugt, es ist also [mm] U=<\vektor{1\\2\\0}, \vektor{1\\0\\-2}>.
[/mm]
Die Basis von U kann ich durch [mm] v_3:=\vektor{1\\0\\0} [/mm] zu einer Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ergänzen.
Jedes Element v des [mm] \IR^3 [/mm] kann ich eindeutig schreiben als [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3 [/mm] mit [mm] a_i\in \IR.
[/mm]
Die Elemente des Raumes V/U haben die Gestalt [mm] v+U=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+U=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+.
[/mm]
Es ist [mm] a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+ [/mm] = [mm] a_3v_3+ .
[/mm]
Also sehen die Elemente des V/U so aus: [mm] \vektor{a\\0\\0}+U [/mm] mit [mm] a\in \IR,
[/mm]
dh. [mm] V/U=\{\vektor{a\\0\\0}+U| a\in \IR\}.
[/mm]
[mm] v_3+U [/mm] ist eine Basis des V/U.
Gruß v. Angela
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