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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Faktorring, Hauptideal, Körper
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Faktorring, Hauptideal, Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:56 Do 25.03.2021
Autor: black

Aufgabe
Sei [mm] \IF_{3} [/mm] = [mm] \IZ [/mm] / [mm] 3\IZ [/mm] der Körper mit 3 Elementen. Sei f := [mm] X^3 [/mm] + 2X + 1 [mm] \in \IF_{3}[X]. [/mm] Sei I := (f) das von f erzeugte Hauptideal in [mm] \IF_{3}[X] [/mm] und K  = [mm] \IF_{3}[X]/I. [/mm]
a) Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist.
b) Schließen Sie ohne weitere Rechnungen, dass K ein Körper ist. Wie viele Elemente hat K?
c) Begründen Sie ohne weitere Rechnungen, warum [mm] X^2+I [/mm] invertierbar in K ist. Bestimmen Sie das Inverse von [mm] X^2+I. [/mm]

Hallo zusammen! :)
Ich bereite mich zur Zeit auf eine Prüfung in Algebra vor und stehe gerade vor dieser Aufgabe. Ich habe diese schon bearbeitet, bin mir in ein paar Sachen aber noch unsicher und ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen (und auch über meine anderen Argumentationen drüberschauen) :)
Meine konkreten Fragen habe ich zur besseren Übersicht fett markiert!

Hier also meine ausgearbeitete Lösung bzw teilweise Lösungsansatz und Ideen:

Zu a): Ich habe zunächst folgende Aussage bewiesen: Ist f [mm] \in [/mm] J , J sei ein Körper.  Sei außerdem Grad(f) [mm] \in [/mm] {2,3} und f besitzt keine Nullstelle in J. Dann ist f irreduzibel.
Beweis durch Kontraposition: Ist f reduzibel, so können wir f schreiben als f = q*k wobei ObdA Grad(q) [mm] \in [/mm] {1,2} und Grad(k) = 1. Also hat k eine Nullstelle in J. Also besitzt auch f diese Nullstelle.

Wenn ich nun also f(0), f(1) , f(2) berechne sehe ich, dass f keine Nullstelle hat, also ist mit obiger Aussage f irreduzibel.
Geht das so in Ordnung?

Zu b) Um auf einen Körper zu schließen habe ich einige Aussagen benutzt, die wir in der Vorlesung bewiesen hatten.
[mm] \IF_{3} [/mm] ist ein Körper, denn 3 ist eine Primzahl. Also ist [mm] \IF_{3} [/mm] insbesondere ein Integritätsring, denn jedes Element ungleich Null ist eine Einheit. Also ist auch der Polynomring [mm] \IF_{3}[X] [/mm] ein Integritätsring. Außerdem gilt, dass [mm] \IF_{3}[X] [/mm] ein euklidischer Ring ist mit Normfunktion v(f) = Grad(f) für f ungleich 0. Da [mm] \IF_{3}[X] [/mm] also ein Integritätsring und ein Euklidischer Ring ist, ist er auch ein Hauptidealring.
Insgesamt also: [mm] \IF_{3}[X] [/mm] ist ein Intgritätsring der ein Hauptidealring ist. Da f irreduzibel ist, ist also [mm] \IF_{3}[X]/(f) [/mm] ein Körper.
Soweit bin ich mir sicher dass die Argumentation passt.

Nun aber zu der Frage wie viele Elemente K hat. Hier bin ich mir nicht sicher wie ich hier vorgehen kann, bzw ob meine Idee zielführend ist.
Meine Idee ist, den Satz von Lagrange über die Ordnung von Gruppen zu verwenden. D.h. wenn U eine Untergruppe von G ist, dann gilt |G| = |U| [mm] \cdot [/mm] |G/U|. Da (f) ja ein Ideal ist ist es auch insbesondere eine Untergruppe. Also kann ich schreiben: [mm] |\IF_{3}[X]| [/mm] = |K| [mm] \cdot [/mm] |(f)|. Ich habe mir überlegt, dass [mm] |\IF_{3}[X]| [/mm] = [mm] 3^n [/mm] ist (wenn ich Polynome vom Grad n-1 betrachte). Nach Lagrange muss ja |(f)| dann [mm] 3^n [/mm] teilen. Ich bin mir aber nicht sicher, wie diese Ordnung zu bestimmen ist. Ist das eindeutig? Wenn ich f mit einem Polynom aus dem Ring multipliziere kann es ja sein, dass mehrmals das gleiche Polynom rauskommt und dann ist dies ja nur ein Element im Hauptideal. Ich habe jetzt einfach geschrieben, dass |(f)| = [mm] 3^k [/mm] mit 0<k [mm] \le [/mm] n und dann entsprechend |K| = [mm] 3^{n-k}. [/mm] Stimmt die Idee bzw geht das exakt? Wie könnte ich hier weiter vorgehen?

zu c) Da K ein Körper ist (siehe b)) ist jedes Element ungleich Null eine Einheit. Da [mm] X^2 [/mm] + I [mm] \in [/mm] K ungleich Null ist, ist es eine Einheit. Also existiert ein Inverses Element [mm] \overline{a} [/mm] = a + (f) [mm] \in [/mm] K mit [mm] (X^2 [/mm] + [mm] I)\cdot\overline{a} [/mm] = [mm] \overline{a}\cdot(X^2 [/mm] + I) = [mm] 1_{K} [/mm]

Nun bin ich mir unsicher, was das Bestimmen der Inversen angeht. Ich habe mir überlegt den Euklidischen Algorithmus anzuwenden. Nur weiß ich nicht, wie ich mit dem "+ I" umzugehen habe. Hier habe ich für den Algorithmus einfach mal "1 [mm] \cdot [/mm] f" eingesetzt und ihn gemacht. Ich habe also gerechnet mit f = [mm] X^3 [/mm] + [mm] 2X^2 [/mm] + 1 und g = [mm] X^2 [/mm] + f = [mm] X^3 [/mm] + 1
Mit dem Algorithmus erhalte ich dann ggT(g,f) = 1 = [mm] (2X+1)\cdot [/mm] g - [mm] 2X\cdot [/mm] f, also 1 [mm] \equiv [/mm] (2X+1)g mod f. Also wäre 2X+1 das multiplikative Inverse zu g.
Macht es hier aber nun einen Unterschied, ob ich für I = [mm] a\cdot [/mm] f ein anderes a [mm] \in \IF_{3} [/mm] verwende? Falls nein, wie kann ich das begründen und falls ja wie kann ich dann das Inverse eindeutig bestimmen?

Also nochmal zusammengefasst: Meine konkreten Fragen sind bei der Berechnung der Ordnung von K und zu der konkreten Bestimmung des Inversen Elementes . Die anderen Argumentationen dienen zur Information und um das Ziel der Aufgabe im Blick zu haben, aber falls euch da ein Fehler auffällt bin ich natürlich um jeden Hinweis dankbar!

Vielen Dank für eure Mithilfe! :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 Do 25.03.2021
Autor: statler


> Sei [mm]\IF_{3}[/mm] = [mm]\IZ[/mm] / [mm]3\IZ[/mm] der Körper mit 3 Elementen. Sei f
> := [mm]X^3[/mm] + 2X + 1 [mm]\in \IF_{3}[X].[/mm] Sei I := (f) das von f
> erzeugte Hauptideal in [mm]\IF_{3}[X][/mm] und K  = [mm]\IF_{3}[X]/I.[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass f irreduzibel ist.
>  b) Schließen Sie ohne weitere Rechnungen, dass K ein
> Körper ist. Wie viele Elemente hat K?
> c) Begründen Sie ohne weitere Rechnungen, warum [mm]X^2+I[/mm]
> invertierbar in K ist. Bestimmen Sie das Inverse von
> [mm]X^2+I.[/mm]
>  Hallo zusammen! :)
>  Ich bereite mich zur Zeit auf eine Prüfung in Algebra vor
> und stehe gerade vor dieser Aufgabe. Ich habe diese schon
> bearbeitet, bin mir in ein paar Sachen aber noch unsicher
> und ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen (und auch
> über meine anderen Argumentationen drüberschauen) :)
> Meine konkreten Fragen habe ich zur besseren Übersicht
> fett markiert!
>  
> Hier also meine ausgearbeitete Lösung bzw teilweise
> Lösungsansatz und Ideen:
>  
> Zu a): Ich habe zunächst folgende Aussage bewiesen: Ist f
> [mm]\in[/mm] J , J sei ein Körper.  Sei außerdem Grad(f) [mm]\in[/mm] {2,3}
> und f besitzt keine Nullstelle in J. Dann ist f
> irreduzibel.
> Beweis durch Kontraposition: Ist f reduzibel, so können
> wir f schreiben als f = q*k wobei ObdA Grad(q) [mm]\in[/mm] {1,2}
> und Grad(k) = 1. Also hat k eine Nullstelle in J. Also
> besitzt auch f diese Nullstelle.
>
> Wenn ich nun also f(0), f(1) , f(2) berechne sehe ich, dass
> f keine Nullstelle hat, also ist mit obiger Aussage f
> irreduzibel.
> Geht das so in Ordnung?

Ich denke ja, jedenfalls für mich.

>
> Zu b) Um auf einen Körper zu schließen habe ich einige
> Aussagen benutzt, die wir in der Vorlesung bewiesen hatten.
> [mm]\IF_{3}[/mm] ist ein Körper, denn 3 ist eine Primzahl. Also ist
> [mm]\IF_{3}[/mm] insbesondere ein Integritätsring, denn jedes
> Element ungleich Null ist eine Einheit. Also ist auch der
> Polynomring [mm]\IF_{3}[X][/mm] ein Integritätsring. Außerdem
> gilt, dass [mm]\IF_{3}[X][/mm] ein euklidischer Ring ist mit
> Normfunktion v(f) = Grad(f) für f ungleich 0. Da
> [mm]\IF_{3}[X][/mm] also ein Integritätsring und ein Euklidischer
> Ring ist, ist er auch ein Hauptidealring.
> Insgesamt also: [mm]\IF_{3}[X][/mm] ist ein Intgritätsring der ein
> Hauptidealring ist. Da f irreduzibel ist, ist also
> [mm]\IF_{3}[X]/(f)[/mm] ein Körper.
> Soweit bin ich mir sicher dass die Argumentation passt.

Na gut, wenn das so zu deiner Vorlesung paßt, ist das ok.

>
> Nun aber zu der Frage wie viele Elemente K hat. Hier bin
> ich mir nicht sicher wie ich hier vorgehen kann, bzw ob
> meine Idee zielführend ist.
> Meine Idee ist, den Satz von Lagrange über die Ordnung von
> Gruppen zu verwenden. D.h. wenn U eine Untergruppe von G
> ist, dann gilt |G| = |U| [mm]\cdot[/mm] |G/U|. Da (f) ja ein Ideal
> ist ist es auch insbesondere eine Untergruppe. Also kann
> ich schreiben: [mm]|\IF_{3}[X]|[/mm] = |K| [mm]\cdot[/mm] |(f)|. Ich habe mir
> überlegt, dass [mm]|\IF_{3}[X]|[/mm] = [mm]3^n[/mm] ist (wenn ich Polynome
> vom Grad n-1 betrachte). Nach Lagrange muss ja |(f)| dann
> [mm]3^n[/mm] teilen. Ich bin mir aber nicht sicher, wie diese
> Ordnung zu bestimmen ist. Ist das eindeutig? Wenn ich f mit
> einem Polynom aus dem Ring multipliziere kann es ja sein,
> dass mehrmals das gleiche Polynom rauskommt und dann ist
> dies ja nur ein Element im Hauptideal. Ich habe jetzt
> einfach geschrieben, dass |(f)| = [mm]3^k[/mm] mit 0<k [mm]\le[/mm] n und
> dann entsprechend |K| = [mm]3^{n-k}.[/mm] Stimmt die Idee bzw geht
> das exakt? Wie könnte ich hier weiter vorgehen?

Das macht man besser so, daß man sich überlegt, das K ein Vektorraum über [mm] \IF_{3} [/mm] ist und dann eine Basis angibt.
(K hat 27 Elemente.)

>  
> zu c) Da K ein Körper ist (siehe b)) ist jedes Element
> ungleich Null eine Einheit. Da [mm]X^2[/mm] + I [mm]\in[/mm] K ungleich Null
> ist, ist es eine Einheit. Also existiert ein Inverses
> Element [mm]\overline{a}[/mm] = a + (f) [mm]\in[/mm] K mit [mm](X^2[/mm] +
> [mm]I)\cdot\overline{a}[/mm] = [mm]\overline{a}\cdot(X^2[/mm] + I) = [mm]1_{K}[/mm]
>  
> Nun bin ich mir unsicher, was das Bestimmen der Inversen
> angeht. Ich habe mir überlegt den Euklidischen Algorithmus
> anzuwenden. Nur weiß ich nicht, wie ich mit dem "+ I"
> umzugehen habe. Hier habe ich für den Algorithmus einfach
> mal "1 [mm]\cdot[/mm] f" eingesetzt und ihn gemacht. Ich habe also
> gerechnet mit f = [mm]X^3[/mm] + [mm]2X^2[/mm] + 1 und g = [mm]X^2[/mm] + f = [mm]X^3[/mm] + 1
>  Mit dem Algorithmus erhalte ich dann ggT(g,f) = 1 =
> [mm](2X+1)\cdot[/mm] g - [mm]2X\cdot[/mm] f, also 1 [mm]\equiv[/mm] (2X+1)g mod f.
> Also wäre 2X+1 das multiplikative Inverse zu g.
> Macht es hier aber nun einen Unterschied, ob ich für I =
> [mm]a\cdot[/mm] f ein anderes a [mm]\in \IF_{3}[/mm] verwende? Falls nein,
> wie kann ich das begründen und falls ja wie kann ich dann
> das Inverse eindeutig bestimmen?

Eine mögliche Lösung ist, einfach die Potenzen von X (im Restklassenring) aufzuschreiben. Und man hat Glück: [mm] X^{21} [/mm] = [mm] X^{2} [/mm] + 1 und [mm] X^{26} [/mm] = 1, also ist [mm] X^{5} [/mm] = [mm] 2X^{2} [/mm] + X + 2 das inverse Element.

>  
> Also nochmal zusammengefasst: Meine konkreten Fragen sind
> bei der Berechnung der Ordnung von K und zu der konkreten
> Bestimmung des Inversen Elementes . Die anderen
> Argumentationen dienen zur Information und um das Ziel der
> Aufgabe im Blick zu haben, aber falls euch da ein Fehler
> auffällt bin ich natürlich um jeden Hinweis dankbar!
>

Soweit erstmal auf die Schnelle.

Gruß Dieter

Bezug
                
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Do 25.03.2021
Autor: black

Hallo Dieter,
erstmal vielen Dank für deine Antwort! Ich hätte dazu noch eine Frage:
Ich habe mich heute nachmittag nochmal mit der Bestimmung des Inversen über den erweiterten Euklidischen Algorithmus beschäftigt.
Ich hatte mMn tatsächlich einfach einen Rechenfehler gemacht und deswegen hatte die "allgemeine" Lösung bei mir nicht funktioniert.
Meine Lösung die ich hier rausbekommen habe passt aber nicht zu dem was du in deiner Antwort geschrieben hattest. Mein Ergebnis ist folgendes: 1 [mm] \equiv (2X+1)\cdot [/mm] g mod f (wobei g = [mm] X^2 [/mm] + a [mm] \cdot [/mm] f , a [mm] \in \IF_{3}). [/mm] Also wäre nach meiner Rechnung 2X+1 das Inverse Element.

Rechenweg dazu:
1. Polynomdivision ergibt: g = [mm] f\cdot [/mm] a + [mm] X^2 [/mm]
2. Polynomdivision ergibt: f = (X+2) [mm] \cdot X^2 [/mm] + 1
3. Polynomdivision ergibt natürlich dann Rest Null und damit sind wir fertig.
also: ggT(g,f) = 1 = f - [mm] (X+2)\cdot X^2 [/mm] = f- [mm] (X+2)\cdot [/mm] (g- [mm] a\cdot [/mm] f) = [mm] (a+1)\cdot [/mm] f - (X+2) [mm] \cdot [/mm] g
Dann ergibt sich 1 [mm] \equiv -(X+2)\cdot [/mm] g mod f und -(X+2) = 2X+1

Dazu muss ich auch sagen, dass ich deine Überlegung dazu nicht direkt nachvollziehen kann, kannst du das bitte nochmal genauer erläutern? Wie kommst du zB darauf, dass [mm] X^{21} [/mm] = [mm] X^2 [/mm] + 1 ?

Zu der ersten Frage von mir würde ich mich dann morgen wieder melden, ich brauche wohl auch eine Denkpause! :)

Viele Grüße
black

Bezug
                        
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: anderer Weg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 Fr 26.03.2021
Autor: statler

Dein Ansatz gefällt mir nicht wirklich. Du müßtest doch folgende Kongruenz lösen: [mm] X^{2} \cdot (aX^{2} [/mm] + bX + c) [mm] \equiv [/mm] 1 mod [mm] X^{3} [/mm] + 2X + 1 mit a, b, c [mm] \in \IF_{3}. [/mm]
Du weißt außerdem [mm] X^{3} \equiv [/mm] X + 2 und [mm] X^{4} \equiv X^{2} [/mm] + 2X. Das ergibt für die Koeffizienten a, b und c durch Koeffizientenvergleich ein einfaches lineares Gleichungssystem in [mm] \IF_{3}: [/mm]
a + c = 0
2a + b = 0
2b = 1
mit der Lösung a = 2, b = 2 und c = 1.
Es paßt also alles zusammen.

Gruß Dieter

Bezug
                                
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:46 Fr 26.03.2021
Autor: black

Ich habe da irgendwie noch Verständnisschwierigkeiten.
Einmal würde mich interessieren, ob mein Ansatz (auch wenn er vielleicht nicht der schönste oder schnellste Weg ist) richtig wäre und ich die Aufgabe überhaup so lösen kann.

Zu deinem Ansatz: Zunächst einmal ist mir leider nicht klar, wie du auf die Kongruenzgleichung mit den drei Unbekannten gekommen bist. Kannst du das genauer erklären?
Ich hatte ja mit g  = [mm] X^2 [/mm] + a [mm] \cdot [/mm] f = [mm] aX^3 [/mm] + (a+1) [mm] \cdot X^2 [/mm] + a  gerechnet.. Hab ich hier etwas falsch verstanden?


Bezug
                                        
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:31 Fr 26.03.2021
Autor: statler


> Ich habe da irgendwie noch Verständnisschwierigkeiten.
> Einmal würde mich interessieren, ob mein Ansatz (auch wenn
> er vielleicht nicht der schönste oder schnellste Weg ist)
> richtig wäre und ich die Aufgabe überhaup so lösen kann.

Ist dir denn klar, daß der Restklassenring eines Polynomringes über einem Körper kein Polynomring mehr ist? Sondern nur noch das homomorphe Bild eines Polynomringes? Damit ist der euklidische Algorithmus in seiner reinen Form schon mal hinfällig. Ich sehe im Moment auch nicht, auf welchem Wege man ihn zumindest teilweise retten könnte, deswegen habe ich den Weg verworfen.

>
> Zu deinem Ansatz: Zunächst einmal ist mir leider nicht
> klar, wie du auf die Kongruenzgleichung mit den drei
> Unbekannten gekommen bist. Kannst du das genauer erklären?
> Ich hatte ja mit g  = [mm]X^2[/mm] + a [mm]\cdot[/mm] f = [mm]aX^3[/mm] + (a+1) [mm]\cdot X^2[/mm]
> + a  gerechnet.. Hab ich hier etwas falsch verstanden?

Im Restklassenring K sind doch die Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 2 die Vertreter der Restklassen. Für jeden Koeffizienten gibt es 3 Möglichkeiten (0, 1, 2 [mm] \in \IF_{3}), [/mm] deswegen die 27 Elemente. Und einer von diesen Vertretern muß es sein! Den kann ich z. B. finden über das Gleichungssytem.

Wenn ich weiß, daß die multiplikative Gruppe von K zyklisch ist, kann ich auch meinen anderen Weg wählen. X + I ist (zufällig) ein erzeugendes Element von K*.

Ich hatte vergessen, dich hier als newcomer zu begrüßen, was ich hiermit nachhole.

>  


Bezug
                                                
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Fr 26.03.2021
Autor: black

Danke für die Begrüßung :)
Ich hoffe dass ich mich bisher hier ordentlich verhalte haha :D

Danke auch für deine Erklärung, es ist mir jetzt um einiges klarer! Ich werde nochmal darüber nachdenken und bei Bedarf nochmal nachhaken.

Bezug
                                                
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 So 28.03.2021
Autor: black

Warum genau sind denn hier nochmal die Polynome vom Grad [mm] \leq [/mm] 2 die Vertreter der Restklassen?

Bezug
                                                        
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 So 28.03.2021
Autor: statler


> Warum genau sind denn hier nochmal die Polynome vom Grad
> [mm]\leq[/mm] 2 die Vertreter der Restklassen?  

Weil bei der Division mit Rest der Rest einen Grad [mm] $\le$ [/mm] 2 hat. Das ist genau wie bei den Zahlen, nur das die Normfunktion hier der Grad und bei den Zahlen der Betrag ist.


Bezug
                                        
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: mit Euklid
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Sa 27.03.2021
Autor: statler

Dann machen wir das spaßeshalber auch noch mit Euklid in [mm] \IF_{3}[X]. [/mm]

Es ist [mm] X^{3} [/mm] + 2X +1 : [mm] X^{2} [/mm] = X, Rest 2X + 1
und
[mm] X^{2} [/mm] : 2X + 1 = 2X + 2, Rest 1^
Und nun rückwärts:
1 = [mm] X^{2} [/mm] - (2X + 1)(2X + 2)
= [mm] X^{2} [/mm] - [mm] ((X^{3} [/mm] + 2X +1) - [mm] X^{2} \cdot [/mm] X) [mm] \cdot [/mm] (2X + 2)
= [mm] X^{2} [/mm] - [mm] (X^{3} [/mm] + 2X +1) [mm] \cdot [/mm] (2X + 2) + [mm] X^{2}(X(2X [/mm] + 2))
= [mm] X^{2}(1+ 2X^{2} [/mm] + 2X) - (X{3} + 2X +1)(2X + 2)
= [mm] X^{2}(2X^{2} [/mm] + 2X + 1) + [mm] (X^{3} [/mm] + 2X +1)(X + 1)

So geht es also auch :)

Bezug
                
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:32 Fr 26.03.2021
Autor: HJKweseleit


> Eine mögliche Lösung ist, einfach die Potenzen von X (im
> Restklassenring) aufzuschreiben. Und man hat Glück: [mm]X^{21}[/mm]
> = [mm]X^{2}[/mm] + 1 und [mm]X^{26}[/mm] = 1, also ist [mm]X^{5}[/mm] = [mm]2X^{2}[/mm] + X + 2
> das inverse Element.


Warum sollte das so sein? Wenn man für X die 0 einsetzt, erhält man

für [mm]X^{21}[/mm] = [mm]X^{2}[/mm] + 1

     [mm] 0^{21} [/mm] = [mm] 0^2 [/mm] + 1  sowie

für  [mm] X^{26} [/mm] = 1

     [mm] 0^{26} [/mm] = [mm] 0\ne [/mm] 1.


Das Inverse von [mm] x^2 [/mm] + 1 ist [mm] x^2 [/mm] + 1 selber:

[mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] = [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + 1, man erhält beim Einsetzen von 0, 1 und 2 immer 1 mod 3.



Bezug
                        
Bezug
Faktorring, Hauptideal, Körper: Mitteilung und Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:53 Fr 26.03.2021
Autor: statler


> > Eine mögliche Lösung ist, einfach die Potenzen von X (im
> > Restklassenring) aufzuschreiben. Und man hat Glück: [mm]X^{21}[/mm]
> > = [mm]X^{2}[/mm] + 1 und [mm]X^{26}[/mm] = 1, also ist [mm]X^{5}[/mm] = [mm]2X^{2}[/mm] + X + 2
> > das inverse Element.
>
>
> Warum sollte das so sein? Wenn man für X die 0 einsetzt,
> erhält man
>
> für [mm]X^{21}[/mm] = [mm]X^{2}[/mm] + 1
>  
> [mm]0^{21}[/mm] = [mm]0^2[/mm] + 1  sowie
>  
> für  [mm]X^{26}[/mm] = 1
>  
> [mm]0^{26}[/mm] = [mm]0\ne[/mm] 1.
>  
>
> Das Inverse von [mm]x^2[/mm] + 1 ist [mm]x^2[/mm] + 1 selber:
>  
> [mm](x^2[/mm] + [mm]1)^2[/mm] = [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^2[/mm] + 1, man erhält beim Einsetzen
> von 0, 1 und 2 immer 1 mod 3.

2 Punkte:

Ich bin im Restklassenring unterwegs, deswegen hätte ich sorgfältiger schreiben sollen: Es ist [mm] $X^{21} [/mm] + I = [mm] X^{2} [/mm] + 1 + I$, und deswegen ist [mm] $X^{5} [/mm] + I = [mm] 2X^{2} [/mm] + X + 2 + I$ das inverse Element. Die I's hatte ich mir geschenkt.

Gesucht war aber das Inverse von [mm] $X^{2} [/mm] + I$, (Wer lesen kann, ist klar im Vorteil.) und das ist dann natürlich [mm] $X^{24} [/mm] + I = [mm] 2X^{2} [/mm] + 2X + 1 + I$.

Mein X oben ist das Bild von X im Restklassenring, also eigentlich [mm] $\overline{X}$. [/mm] Da wird nichts eingesetzt.        

Bezug
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