Faktorring, Isomorph,komplexen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 02.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Zeigen Sie [mm] \mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1)) [/mm] |
Ich habe gezeigt, dass [mm] \mathbb{R}[X]/(X^2+1)) [/mm] ein Körper ist:
[mm] \mathbb{R}[X] [/mm] ist ein Integritätsring, da [mm] \mathbb{R} [/mm] ein Integritätsbereich ist.
[mm] (X^2+1) [/mm] ist als ein Polynom zweiten Grades ohne Nullstelle irreduzibel.
Da wir über [mm] \mathbb{R} [/mm] - einen Körper - arbeiten gilt [mm] \mathbb{R}[X]/(X^2+1)) [/mm] ist ebenfalls ein Körper.
Ich definiere [mm] \phi([a+bX])=a+ib.
[/mm]
Nun habe ich Injektivität, Surjektivität und die Homomorphieeigenschaften gezeigt. Nur fehlt mir das [mm] \phi [/mm] wohldefiniert ist!
Sei [a+bX]=[s+tX]
ZZ.: a+bi = s+ti, d.h. a=s [mm] \wedge [/mm] b=t
Da a+bX [mm] \in [/mm] [s+tX] ist gilt: a+bX = s+tX + [mm] (X^2+1) [/mm]
und da s+tX [mm] \in [/mm] [a+bX] ist gilt: s+tX = a+bX + [mm] (X^2+1) [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a+bX = a+bX + 2 [mm] (X^2+1) \Rightarrow 2(X^2+1)=0 \Rightarrow X^2 [/mm] +1 =0 ??
Ich hänge da leider.
LG
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Tipp: Finde einen surjektiven Homomorphismus [mm] $\IR [x]\longrightarrow\IC [/mm] $ mit Kern [mm] $(x^2+1) [/mm] $. (Das ist das einzig sinnvolle Vorgehen, um einen Ismorphismus dieser Art zu finden.) Ein Homomorphismus $ R [mm] [x]\longrightarrow [/mm] S $ ist bestimmt durch einen Homomorphismus $ [mm] R\longrightarrow [/mm] S $ und einem Element aus $ S $, auf welches $ x $ abgebildet wird. (Das ist das einzig sinnvolle Vorgehen, um einen Homomorphismus aus dem Polynomring zu definieren. )
Um zu zeigen, dass der Kern tatsächlich ist, wie gesucht, verwende z.B. auch, dass es sich um einen Hauptidealring handelt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 Sa 03.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo UniversellesObjekt!
> Um zu zeigen, dass der Kern tatsächlich ist, wie gesucht,
> verwende z.B. auch, dass es sich um einen Hauptidealring
> handelt.
Die größte Schwierigkeit liegt ja offenbar darin, für den Homomorphismus [mm] $\Phi\colon\IR[X]\to\IC$ [/mm] mit [mm] $\Phi(a)=a$ [/mm] für alle [mm] $a\in\IR$ [/mm] und [mm] $\Phi(X)=i$ [/mm] die Bedingung [mm] $kern(\Phi)\subseteq(X^2+1)$ [/mm] zu zeigen.
Dazu habe ich ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $f\in kern(\Phi)$ [/mm] genommen und den Nachweis von [mm] $f\in(X^2+1)$ [/mm] wie folgt geführt:
Polynomdivision von $f$ durch [mm] $(X^2+1)$ [/mm] liefert Polynome [mm] $g,h\in\IR[X]$ [/mm] mit [mm] $f=g*(X^2+1)+h$ [/mm] und $grad(h)<2$.
Dann habe ich unter Nutzung von [mm] $\Phi(f)=0$ [/mm] die Bedingung $h=0$ gezeigt.
Geht das mit der Hauptidealring-Eigenschaft von [mm] $\IR[X]$ [/mm] einfacher?
Viele Grüße
Tobias
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Es gibt hier natürlich viele Wege, die alle mehr oder weniger auf dasselbe hinauslaufen. Es ist klar, dass [mm] $(x^2+1)\le\ker$. [/mm] Das Polynom [mm] $x^2+1$ [/mm] ist irreduzibel, erzeugt also ein Primideal. Ein nicht verschwindendes Primideal in einem Hauptidealbereich ist maximal. Zwei Maximalideale, zwischen denen eine Inklusionsbeziehung herrscht, sind gleich (es genügt natürlich auch, dass der Kern überhaupt eine echtes Ideal ist).
Alternativ: Es ist [mm] $\ker\phi=(f)$, [/mm] für ein Polynom $f$ [mm] ($\phi$ [/mm] ist der Einsetzungshomomorphismus). Das heißt es gilt [mm] $g(i)=0\iff f\mid [/mm] g$. Dies ist ziemlich genau die Definition von "$f$ ist das Minimalpolynom von $i$".
Es handelt sich hier ja nur um einen Spezialfall der Aussage, dass $K[a]=K[x]/f$, wobei $f=$Minimalpolynom von $a$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:56 Sa 03.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Danke für deine Antwort und deine Beweis-Vorschläge! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 04.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für deine Antwort!
> Ein Homomorphismus $ R [mm] [x]\longrightarrow [/mm] S $ ist bestimmt durch einen Homomorphismus $ [mm] R\longrightarrow [/mm] S $ und einem Element aus S, auf welches x abgebildet wird.
Hast du vlt. einen Beweis der Aussage auf Lager oder ein Buch/Links wo ich nachschlagen kann?
Ich weiß ein Gruppenhomomorphismus [mm] \phi:=G \rightarrow [/mm] H ist durch die Bilder [mm] \phi(m) [/mm] mit m [mm] \in [/mm] M eindeutig bestimmt.
Den Ring der Polynome mit Koeffizienten aus R in der unbestimmten X haben wir eingefühert, als die Menge der unendlichen Folgen [mm] (a_0,a_1,..) [/mm] mit [mm] a_i \in [/mm] R(Ring) [mm] \forall [/mm] i [mm] \ge [/mm] 0 mit der Eigenschaft, dass nur endlich viele der [mm] a_i\not=0 [/mm] sind.
Wird dass vlt gefolgert von: (mit X=(0,1,0,0,...))
[mm] (a_0,a_1,a_2,...)=(a_0,0,0,...)*(1,0,0,..)+(a_1,0,0,0,...)*X+(a_1,0,0,..)*X^2 [/mm] +.. = [mm] \sum_{i \ge 0} a_i X^i [/mm] ?
LG,
sissi
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Vergiss das mit den Folgen. Ich schreibe dir einige Eigenschaften auf, die den Polynomring ausmachen.
Es sei $R$ ein Ring (im Folgenden sind alle Ringe kommutativ). Dann gibt es einen injektiven Homomorphismus [mm] $\iota\colon R\longrightarrow [/mm] R[X]$ (das heißt, wenn man möchte, kann man $R$ als Teilring von $R[X]$ auffassen) und ein Element [mm] $X\in [/mm] R$ mit der Eigenschaft, dass jedes Element [mm] $f\in [/mm] R[X]$ die Form [mm] $f=\sum_{i\in\IN}\iota(a_i)X^i$ [/mm] hat, mit durch $f$ eindeutig bestimmten Koeffizienten [mm] $a_k\in [/mm] R$, welche fast alle verschwinden.
Beachte, dass sich die Regeln für das Addieren und multiplizieren dieser Elemente allein daraus ergeben, dass $R[X]$ ein Ring ist: Die Rechenregeln [mm] $\sum_{i\in\IN}a_ix^i+\sum_{i\in\IN}b_ix^i=\sum_{i\in\IN}(a_i+b_i)x^i$, [/mm] sowie [mm] $\left(\sum_{i\in\IN}a_ix^i\right)\cdot\left(\sum_{i\in\IN}b_ix^i\right)=\sum_{k\in\IN}\left(\sum_{i+j=k}a_i\cdot b_j\right)x^k$ [/mm] gelten für jeden (kommutativen) Ring $S$ mit [mm] $a_i,b_i,x\in [/mm] S$. (Das werden wir gleich noch benötigen).
Dass man die zugrundeliegende Menge von $R[X]$ theoretisch als eine Menge von Folgen konstruieren kann, ist für die Praxis völlig irrelevant.
Satz (Satz über den Einsetzungshomomorphismus/Universelle Eigenschaft des Polynomrings): Ist $S$ ein weiterer Ring mit einem Homomorphismus [mm] $\varphi\colon R\longrightarrow [/mm] S$ und einem Element [mm] $s\in [/mm] S$, so gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorphismus [mm] $\widetilde{\varphi}\colon R[X]\longrightarrow [/mm] S$ mit [mm] $\widetilde{\varphi}\circ\iota=\varphi$ [/mm] und [mm] $\widetilde{\varphi}(X)=s$.
[/mm]
Beweis: Es wird [mm] $\widetilde{\varphi}$ [/mm] definiert durch [mm] $\widetilde{\varphi}(\sum_{i\in\IN}\iota(a_i)X^i)=\sum_{i\in\IN}\varphi(a_i)s^i$. [/mm] Dass dies einen Homomorphismus definiert, ergibt sich aus unserer obigen Bemerkung über Rechenregeln. Dass er das nötige Diagramm kommutativ macht, und eindeutig bestimmt ist, sieht man leicht ein.
Da der induzierte Homomorphismus in ein Polynom für $X$ das Ringelement $s$ einsetzt, nennt man ihn auch den Einsetzungshomomorphismus.
Analoges gilt für Polynomringe mit mehreren Variablen. Man kann sich sozusagen vorstellen, dass [mm] $\{x_1,\dots,x_n\}$ [/mm] eine "ringtheoretische Basis" von [mm] $R[x_1,\dots,x_n]$ [/mm] ist. Wenn ich einen Homomorphismus von dort definieren möchte, sage ich einfach, was mit [mm] $x_1,\dots,x_n$ [/mm] passieren soll. Der allgemeine Zusammenhang ist der eines linksadjungierten Funktors.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Sa 03.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile!
Einen kürzeren und eleganteren Weg hat dir Universelles Objekt ja bereits skizziert.
Dennoch möchte ich auf deinen Weg eingehen:
> Zeigen Sie [mm]\mathbb{C} \cong \mathbb{R}[X]/(X^2+1))[/mm]
> Ich
> habe gezeigt, dass [mm]\mathbb{R}[X]/(X^2+1))[/mm] ein Körper ist:
(Benutzt du das im Folgenden irgendwo?)
> [mm]\mathbb{R}[X][/mm] ist ein Integritätsring, da [mm]\mathbb{R}[/mm] ein
> Integritätsbereich ist.
(Das stimmt zwar; du brauchst dies im Folgenden nicht jedoch nicht explizit.)
> [mm](X^2+1)[/mm] ist als ein Polynom zweiten Grades ohne Nullstelle
> irreduzibel.
Hier geht ein, dass [mm] $\IR$ [/mm] ein Körper ist.
> Da wir über [mm]\mathbb{R}[/mm] - einen Körper - arbeiten gilt
> [mm]\mathbb{R}[X]/(X^2+1))[/mm] ist ebenfalls ein Körper.
Nutzt du hier einen speziellen bekannten Zusammenhang?
> Ich definiere [mm]\phi([a+bX])=a+ib.[/mm]
> Nun habe ich Injektivität, Surjektivität und die
> Homomorphieeigenschaften gezeigt.
> Nur fehlt mir das [mm]\phi[/mm]
> wohldefiniert ist!
Dafür ist auch noch zu zeigen:
Jedes [mm] $k\in\IR[X]/(X^2+1)$ [/mm] hat die Gestalt $k=[a+bX]$ für gewisse [mm] $a,b\in\IR$.
[/mm]
> Sei [a+bX]=[s+tX]
> ZZ.: a+bi = s+ti, d.h. a=s [mm]\wedge[/mm] b=t
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Da a+bX [mm]\in[/mm] [s+tX] ist gilt: a+bX = s+tX + [mm](X^2+1)[/mm]
Nein.
Die Bedingung [mm] $a+bX\in[s+tX]=$ [/mm] bedeutet [mm] $a+bX\in s+tX+\underline{a}$ [/mm] mit [mm] $\underline{a}:=(X^2+1)\subseteq\IR[X]$, [/mm] d.h. es existiert ein [mm] $f\in\underline{a}$ [/mm] mit $a+bX=s+tX+f$.
Dieses $f$ hat wegen [mm] $f\in\underline{a}$ [/mm] die Gestalt [mm] $f=g*(X^2+1)$ [/mm] für ein Polynom [mm] $g\in\IR[X]$.
[/mm]
Mit einem Gradargument kannst du $g=0$ zeigen.
Es folgt $f=0$ und damit $a+bX=s+tX$ und damit $a=s$ und $b=t$.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 04.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke. Ich habe mir das nun allgemein für Faktorringe nochmal aufgeschrieben und nun ist die Wohldefiniertheit klar geworden!
> Dafür ist auch noch zu zeigen:
> Jedes $ [mm] k\in\IR[X]/(X^2+1) [/mm] $ hat die Gestalt k=[a+bX] für gewisse $ [mm] a,b\in\IR [/mm] $.
Das habe ich nicht ganz hinbekommen:
Sei k [mm] \in \IR[X]/(X^2+1)=\{ (X^2+1) + r[X]| r[X] \in \mathbb{R}[X]\}
[/mm]
D.h. [mm] \exists r[X]\in \mathbb{R}[X]: [/mm] k = [mm] (X^2+1)+r[X] [/mm]
[mm] (X^2+1)= \mathbb{R}[X] *(X^2+1) [/mm] wobei ich links das von [mm] X^2+1 [/mm] erzeugte Ideal und rechts nur eine Rechenklammer meine..
[mm] k=\{ r_1[X] (X^2+1)+r[X]: r_1[X] \in \mathbb{R}[X]\} [/mm] Hier meine ich wieder nur die Rechenklammer.
[mm] [a+bX]=\{ s[X] \in \mathbb{R}[X] : s[X] \in (X^2+1) + a+bX \} [/mm] Hier meine ich wieder das Ideal.
[a+bX] [mm] \subseteq [/mm] k:
s[X] [mm] \in [/mm] [a+bX]: s[X]= [mm] (X^2+1)*f[X] [/mm] + a+bX mit f[X] [mm] \in \mathbb{R}[X]
[/mm]
Woher kommt nun,dass r[X]= a+bX sein muss?
-) inj
[mm] \phi([a+bX])=\phi([s+tx]) \iff [/mm] a+bi=s+ti
[mm] \rightarrow [/mm] a=s, b=t [mm] \rightarrow [/mm] [a+bX]=[s+tX]
-) surj
Sei z [mm] \in \mathbb{C} [/mm] beliebig, so z:=a+ib mit a,b [mm] \in \mathbb{R}
[/mm]
So [mm] \phi([a+bX])=a+ib
[/mm]
-) Homomorphie
[mm] \phi([a+bX]+[s+tX])= \phi([a+s+(b+t)X])=a+s+(b+t)i [/mm] = a+bi + s+ti= [mm] \phi([a+bX])+\phi([s+tX])
[/mm]
[mm] \phi([a+bX]*[s+tX])= \phi([as +(at+bs)X+btX^2])= \phi([as +(at+bs)X+btX^2 [/mm] - [mm] (X^2+1) (bt)])=\phi([as-bt [/mm] + X (at+bs)]) [mm] =as-bt+i(at+bs)=(a+bi)*(s+it)=\phi([a+bX])\phi([s+tX]
[/mm]
Wobei beim zweiten Gleichheitszeichen verwendet wird:
[as [mm] +(at+bs)X+btX^2]=\{r[X] \in \mathbb{R}[X]| r[X] \in (X^2+1)+as +(at+bs)X+btX^2\}
[/mm]
Liebe Grüße,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 So 04.10.2015 | | Autor: | sissile |
Sollte eine Frage sein, keine Mitteilung:)
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Di 06.10.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo,
> Danke. Ich habe mir das nun allgemein für Faktorringe
> nochmal aufgeschrieben und nun ist die Wohldefiniertheit
> klar geworden!
>
> > Dafür ist auch noch zu zeigen:
> > Jedes [mm]k\in\IR[X]/(X^2+1)[/mm] hat die Gestalt k=[a+bX] für
> gewisse [mm]a,b\in\IR [/mm].
>
> Das habe ich nicht ganz hinbekommen:
> Sei k [mm]\in \IR[X]/(X^2+1)=\{ (X^2+1) + r[X]| r[X] \in \mathbb{R}[X]\}[/mm]
>
> D.h. [mm]\exists r[X]\in \mathbb{R}[X]:[/mm] k = [mm](X^2+1)+r[X][/mm]
> [mm](X^2+1)= \mathbb{R}[X] *(X^2+1)[/mm] wobei ich links das von
> [mm]X^2+1[/mm] erzeugte Ideal und rechts nur eine Rechenklammer
> meine..
> [mm]k=\{ r_1[X] (X^2+1)+r[X]: r_1[X] \in \mathbb{R}[X]\}[/mm] Hier
> meine ich wieder nur die Rechenklammer.
>
> [mm][a+bX]=\{ s[X] \in \mathbb{R}[X] : s[X] \in (X^2+1) + a+bX \}[/mm]
> Hier meine ich wieder das Ideal.
Man kann $a$, $b$ nicht willkuerlich waehlen. Du hast $k= [mm] (X^{2}+1)+r[X]$. [/mm] Dividiere nun $r[X]$ mit Rest durch [mm] $X^{2}+1$: $r[X]=q(X^{2}+1)+s$. [/mm] Mache Dir nun klar, dass
1. k= [mm] (X^{2}+1)+s$ [/mm] gilt
2. $s$ hat den Grad höchstens $1$, also $s= a+bX$.
Der Rest sieht richtig, aber wenig unterhaltsam aus.
>
> [a+bX] [mm]\subseteq[/mm] k:
> s[X] [mm]\in[/mm] [a+bX]: s[X]= [mm](X^2+1)*f[X][/mm] + a+bX mit f[X] [mm]\in \mathbb{R}[X][/mm]
>
> Woher kommt nun,dass r[X]= a+bX sein muss?
>
> -) inj
> [mm]\phi([a+bX])=\phi([s+tx]) \iff[/mm] a+bi=s+ti
> [mm]\rightarrow[/mm] a=s, b=t [mm]\rightarrow[/mm] [a+bX]=[s+tX]
>
> -) surj
> Sei z [mm]\in \mathbb{C}[/mm] beliebig, so z:=a+ib mit a,b [mm]\in \mathbb{R}[/mm]
>
> So [mm]\phi([a+bX])=a+ib[/mm]
>
> -) Homomorphie
> [mm]\phi([a+bX]+[s+tX])= \phi([a+s+(b+t)X])=a+s+(b+t)i[/mm] = a+bi
> + s+ti= [mm]\phi([a+bX])+\phi([s+tX])[/mm]
> [mm]\phi([a+bX]*[s+tX])= \phi([as +(at+bs)X+btX^2])= \phi([as +(at+bs)X+btX^2[/mm]
> - [mm](X^2+1) (bt)])=\phi([as-bt[/mm] + X (at+bs)])
> [mm]=as-bt+i(at+bs)=(a+bi)*(s+it)=\phi([a+bX])\phi([s+tX][/mm]
> Wobei beim zweiten Gleichheitszeichen verwendet wird:
> [as [mm]+(at+bs)X+btX^2]=\{r[X] \in \mathbb{R}[X]| r[X] \in (X^2+1)+as +(at+bs)X+btX^2\}[/mm]
>
> Liebe Grüße,
> sissi
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Di 20.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich hatte bis jetzt nicht die Gelegenheit mich mit der Aufgabe zu beschäftigen aber jetzt endlich.
> Jedes $ [mm] k\in\IR[X]/(X^2+1) [/mm] $ hat die Gestalt k=[a+bX] für
> gewisse $ [mm] a,b\in\IR [/mm] $.
> Sei k $ [mm] \in \IR[X]/(X^2+1)=\{ (X^2+1) + r[X]| r[X] \in \mathbb{R}[X]\} [/mm] $
>
> D.h. $ [mm] \exists r[X]\in \mathbb{R}[X]: [/mm] $ k = $ [mm] (X^2+1)+r[X] [/mm] $
Dividiere r[X] mit Rest durch [mm] X^2+1:
[/mm]
[mm] r[X]=q*[X^2+1]+s [/mm] wobei [mm] grad(s)
grad(r[X]) = [mm] max\{grad(q)+2,grad(s)\} [/mm]
1 Fall: [mm] q\not=0 [/mm] (0-Polynom)
D.h. grad(q) [mm] \ge [/mm] 0, also ist grad(r[X])=grad(q)+2 [mm] \ge [/mm] 2
2 Fall: q =0
Aus [mm] grad(q)=-\infty [/mm] folgt grad(r[X])=grad(s)
[mm] k=(X^2+1)+q*[X^2+1]+s
[/mm]
Woraus folgst du, dass q, das Nullpolynom ist? Ich habe doch keine Information über die Grade der anderen vorkommenden Polynome?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Di 20.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hatte bis jetzt nicht die Gelegenheit mich mit der
> Aufgabe zu beschäftigen aber jetzt endlich.
(Ich habe jetzt nicht noch einmal den gesamten Thread studiert und beziehe mich daher nur auf deine aktuelle Frage.)
> > Jedes [mm]k\in\IR[X]/(X^2+1)[/mm] hat die Gestalt k=[a+bX] für
>
> > gewisse [mm]a,b\in\IR [/mm].
Das möchtest du nun offenbar zeigen.
> > Sei k [mm]\in \IR[X]/(X^2+1)=\{ (X^2+1) + r[X]| r[X] \in \mathbb{R}[X]\}[/mm]
>
> >
> > D.h. [mm]\exists r[X]\in \mathbb{R}[X]:[/mm] k = [mm](X^2+1)+r[X][/mm]
Sinnvoller Start.
Beachte, dass [mm] $\underline{a}:=(X^2+1)$ [/mm] hier nicht das Polynnom [mm] $X^2+1$ [/mm] bezeichnet, sondern das von diesem Polynom erzeugte Ideal in [mm] $\IR[X]$.
[/mm]
Wir haben also $k=[r]$.
Gesucht ist also ein Polynom [mm] $s\in\IR[X]$ [/mm] vom Grad [mm] $\le [/mm] 1$ mit $[r]=[s]$.
$[r]=[s]$ ist gleichbedeutend mit [mm] $r-s\in\underline{a}$, [/mm] was wiederum äquivalent zu [mm] $r-s=q*(X^2+1)$ [/mm] für ein [mm] $q\in\IR[X]$ [/mm] ist.
Letztlich suchen wir also Polynome [mm] $s,q\in\IR[X]$ [/mm] mit [mm] $r-s=q*(X^2+1)$ [/mm] und [mm] $grad(s)\le [/mm] 1$.
> Dividiere r[X] mit Rest durch [mm]X^2+1:[/mm]
> [mm]r[X]=q*[X^2+1]+s[/mm] wobei [mm]grad(s)
> grad(s) [mm]\in \{'-\infty',0,1\}.[/mm]
Und damit haben wir nach meinen obigen Überlegungen genau das, was wir brauchen.
(Ich überlasse es dir, den vollständigen Beweis, den ich quasi "rückwärts" begonnen habe, "vorwärts" zu notieren.)
Die folgenden Überlegungen benötigen wir gar nicht.
> grad(r[X]) = [mm]max\{grad(q)+2,grad(s)\}[/mm]
Beachte, dass für beliebige Polynome anstelle der hier betrachteten nur [mm] $\le$ [/mm] gelten muss und nicht $=$.
Hier ist aber "die rechte Seite" [mm] $max\{grad(q)+2,grad(s)\}$ [/mm] nichts anderes als eine komplizierte Schreibweise für $grad(q)+2$ und obige Gleichheit gilt.
> 1 Fall: [mm]q\not=0[/mm] (0-Polynom)
> D.h. grad(q) [mm]\ge[/mm] 0, also ist grad(r[X])=grad(q)+2 [mm]\ge[/mm] 2
Ja.
> 2 Fall: q =0
> Aus [mm]grad(q)=-\infty[/mm] folgt grad(r[X])=grad(s)
Ja.
> [mm]k=(X^2+1)+q*[X^2+1]+s[/mm]
Beachte wieder, dass [mm] $(X^2+1)$ [/mm] für ein Ideal steht und [mm] $[X^2+1]$ [/mm] für ein Polynom.
> Woraus folgst du, dass q, das Nullpolynom ist? Ich habe
> doch keine Information über die Grade der anderen
> vorkommenden Polynome?
q ist nur dann das Nullpolynom, wenn $s=r$ gilt, also wenn r schon selber Grad [mm] $\le1$ [/mm] hat.
Wir benötigen aber gar nicht die genaue Gestalt von q.
Es genügt, [mm] $k=r+(X^2+1)=s+(X^2+1)$ [/mm] einzusehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Mi 21.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke für die Erklärungen!
Ist für mich nun abgehackt;)
LG,
sissi
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Falls jedes Element aus [mm] $\mathbb{R}[X]/$ [/mm] die Form $aX+b\ [mm] +$ [/mm] mit $a,b [mm] \in \mathbb{R}$ [/mm] besitzt, muss man doch Gleichheit von Mengen zeigen, oder irre ich mich schon hier?
Also sei $R= s\ + [mm] \ \in\ \mathbb{R}[X]/$ [/mm] beliebig mit $s\ [mm] \in\ \mathbb{R}[X]$.
[/mm]
Es soll gelten: $R=\ aX+b\ [mm] +$, [/mm] wobei $a,b\ [mm] \in\ \mathbb{R}$.
[/mm]
Dabei ist mir die erste Inklusion, also $R = s\ + [mm] \ \subset\ [/mm] aX+b\ + [mm] $ [/mm] wunderbar klar.
Aber warum gilt die andere Inklusion?
Angenommen [mm] $\exists [/mm] \ t [mm] \in [/mm] aX + b\ + [mm] $, [/mm] d.h. [mm] $t=aX+b+q\cdot(X^2+1)$ [/mm] mit [mm] $q\in\mathbb{R}[X]$.
[/mm]
Wie kommt man auf $t\ [mm] \in\ $?
[/mm]
Es müsste gelten: $t\ =\ s\ + p\ [mm] \cdot $, [/mm] wobei $p\ [mm] \in\ \mathbb{R}[X]$ [/mm] frei wählbar und $s\ [mm] \in\ \mathbb{R}[X]$ [/mm] fest vorgegeben.
Kann mich da kurz jemand auf den richtigen Weg lenken? Wie lässt sich der Ausdruck $aX+b$ so erweitern, dass immer $s\ -\ aX+b\ [mm] \in\ $ [/mm] gilt?
Ich habe da immer Probleme mit dem Rest, falls ich versuche $s\ -\ aX+b$ durch [mm] $X^2+1$ [/mm] zu teilen.
Vielen Dank schonmal für Eure Mühe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Sa 26.11.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Falls jedes Element aus [mm]\mathbb{R}[X]/[/mm] die Form
> [mm]aX+b\ +[/mm] mit [mm]a,b \in \mathbb{R}[/mm] besitzt, muss man
> doch Gleichheit von Mengen zeigen, oder irre ich mich schon
> hier?
Ja.
>
> Also sei [mm]R= s\ + \ \in\ \mathbb{R}[X]/[/mm]
> beliebig mit [mm]s\ \in\ \mathbb{R}[X][/mm].
> Es soll gelten: [mm]R=\ aX+b\ +[/mm],
> wobei [mm]a,b\ \in\ \mathbb{R}[/mm].
>
> Dabei ist mir die erste Inklusion, also [mm]R = s\ + \ \subset\ aX+b\ + [/mm]
> wunderbar klar.
> Aber warum gilt die andere Inklusion?
>
> Angenommen [mm]\exists \ t \in aX + b\ + [/mm], d.h.
> [mm]t=aX+b+q\cdot(X^2+1)[/mm] mit [mm]q\in\mathbb{R}[X][/mm].
> Wie kommt man auf [mm]t\ \in\ [/mm]?
> Es müsste gelten: [mm]t\ =\ s\ + p\ \cdot [/mm],
> wobei [mm]p\ \in\ \mathbb{R}[X][/mm] frei wählbar und [mm]s\ \in\ \mathbb{R}[X][/mm]
> fest vorgegeben.
>
> Kann mich da kurz jemand auf den richtigen Weg lenken? Wie
> lässt sich der Ausdruck [mm]aX+b[/mm] so erweitern, dass immer [mm]s\ -\ aX+b\ \in\ [/mm]
> gilt?
> Ich habe da immer Probleme mit dem Rest, falls ich
> versuche [mm]s\ -\ aX+b[/mm] durch [mm]X^2+1[/mm] zu teilen.
>
Du möchtest die Gleichheit der Mengen [mm] $s+$ [/mm] und [mm] $aX+b+$ [/mm] zeigen; genauer gesagt ist zu beweisen, dass es zu beliebigem [mm] $s\in \IR[X]$ [/mm] Zahlen [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] gibt, sodass [mm] $s+= aX+b+$ [/mm] ist. Diese Zahlen $a,b$ hängen also von $s$ ab. Beachte, dass es ausreicht zu zeigen, dass die beiden Restklassen [mm] $s+$ [/mm] und [mm] $aX+b+$ [/mm] ein gemeinsames Element haben, da Restklassen schon gleich sind, wenn ihr Durchschnitt nicht leer ist. Dadurch lässt sich Arbeit sparen.
Sei also [mm] $s\in \IR[X]$. [/mm] Dann kann ich $s$ mit Rest durch [mm] $X^{2}+1$ [/mm] teilen: es existieren [mm] $q,r\in \IR[X]$ [/mm] mit $s= [mm] q(X^{2}+1)+r$, [/mm] wobei $r=0$ oder $grad(r)< 2$. Daher gibt es [mm] $a,b\in \IR$ [/mm] mit $r= aX+b$. Folglich ist [mm] $s\in aX+b+$.
[/mm]
> Vielen Dank schonmal für Eure Mühe!
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