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| Aufgabe | Sei R ein Hauptidealring und a,b [mm] \in [/mm] R Primelemente. Zeigen Sie:
1. Ist X ein R-Modul, dann ist X/aX ein R/(a)-Vektorraum.
2. a und b sind genau dann assoziiert, wenn R/(a) und R/(b) isomorph sind. |
Hallo,
ich finde die Aufgaben irgendwie schwer zu lösen, daher frage ich hier,um den ein oder anderen Tipp dazu von euch zu bekommen.
Zu 1) X ist ein R-Modul, und X/aX wäre doch ein Faktoring , also
X/aX:={X+aX}, aber weiter weiß ich irgendwie nicht.
in Worten wäre X/aX eig die Menge X modulo aX.
ein R/(a) die Menge aller Elemente aus R modulo vielfache von a.
Was nun?
Zu 2) wenn a und b assoziiert sind, dann wird a von b geteilt, und b von a geteilt. Eig müsste dann gelten : a=b. Und dann ist eig klar, dass R/(a) isomorph zu R/(b) ist.
was nun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Di 29.06.2010 | | Autor: | andreas |
hallo
> Zu 1) X ist ein R-Modul, und X/aX wäre doch ein Faktoring
nein, ein faktormodul.
> , also
> X/aX:={X+aX}, aber weiter weiß ich irgendwie nicht.
nein, es ist $X/aX = [mm] \{x + aX : x \in X\}$. [/mm] schau dir die definition am besten nochmal genau an.
> in Worten wäre X/aX eig die Menge X modulo aX.
> ein R/(a) die Menge aller Elemente aus R modulo vielfache
> von a.
> Was nun?
wenn du nicht genau weißt, was hier passiert überlege dir das doch mal an einem beispiel. wie sieht denn die situation aus für $R = [mm] \mathbb{Z}$, [/mm] $a = 2$ und $X = [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] oder - sobald dir das erste klar ist - für $X = [mm] \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}^2$?
[/mm]
> Zu 2) wenn a und b assoziiert sind, dann wird a von b
> geteilt, und b von a geteilt. Eig müsste dann gelten :
> a=b.
nein, das ist schon für $R = [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] falsch (betrachte zum beispiel $a = 3$, $b = -3$). aber kümmere dich am besten zunächst mal um den ersten teil und schaue, wie weit du kommst.
grüße
andreas
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