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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 30.01.2005 | | Autor: | Ronntze |
Seien f,g: [mm] \IN \to \IN [/mm] die Funktion
[mm] f(n)=\begin{cases} (2n)! & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ (2n+1)! & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases}
[/mm]
[mm] g(n)=\begin{cases} (2n)! & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \\ (2n+1)! & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie:
a) f und g sind streng monoton steigend
b) Zeigen oder wiederlegen Sie die beiden Beziehungen f [mm] \in [/mm] O(g) bzw. g [mm] \in [/mm] O(f)
Das große O soll das O von O-Notation sein.
Habe ich die Aufgabe eigentlich im Richtigen Forum geposted?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke.
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Gruß!
Also, Aufgabe a) überlasse ich Dir... das ist wirklich einfach. Du mußt zeigen, dass für $n < m$ auch $f(n) < f(m)$ bzw. $g(n) < g(m)$ gilt. Dabei darfst Du natürlich benutzen, dass die Fakultätsfunktion streng monoton ist, d.h. für $n < m$ gilt $n! < m!$.
Zur Aufgabe b): Betrachte die Quotienten [mm] $\frac{f}{g}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{g}{f}$ [/mm] und ihr Verhalten für $n [mm] \to \infty$. [/mm] Was fällt auf? Geht das gegen eine Konstante? Gegen 0?
Und schließlich: nein, das Forum ist falsch, bei "Funktionentheorie" handelt es sich um komplexe Analysis, also um Analysis über [mm] $\IC$. [/mm] Ich verschiebe das ganze mal ins normale Analysis-Forum.  Feeeesthalten!
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 30.01.2005 | | Autor: | Ronntze |
Kannst du die mir die Lösung der beiden Aufgaben vielleicht ein bischen genauer erklären? Habe die Lösung von a bisher nur graphisch. Geht das auch schriftlich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Youri |
> Kannst du die mir die Lösung der beiden Aufgaben vielleicht
> ein bischen genauer erklären? Habe die Lösung von a bisher
> nur graphisch. Geht das auch schriftlich?
Hallo Ronntze -
Aufgabenteil a sollte man wohl auch schriftlich lösen können.
Als erstes würde ich die Bedingung für [mm] n[/mm] innerhalb der Funktionsvorschrift übernehmen.
Du hast:
$ [mm] f(n)=\begin{cases} (2n)! & \mbox{falls } n \mbox{ ungerade} \\ (2n+1)! & \mbox{falls } n \mbox{ gerade} \end{cases} [/mm] $
Wenn [mm]n[/mm] gerade ist, kannst Du n schreiben als
[mm]n=2*m[/mm]
Ist [mm]n[/mm] ungerade, gilt:
[mm]n=2*m+1[/mm]
[mm]f(2m)=(2*(2m)+1)! =(4*m+1)![/mm]
[mm]f(2*m+1)=(2*(2*m+1))!=(4*m+2)![/mm]
Wenn Du nun zwei aufeinanderfolgende Funktionswerte vergleichst, erhälst Du folgendes:
Es gilt: [mm]2*m<2*m+1[/mm]
z.z. [mm] f(2*m)
[mm](4*m+1)!<(4*m+2)![/mm]
Stell Dir mal die beiden Seiten der Ungleichung vor -
am besten Du überlegst Dir ein Zahlenbeispiel aus der
noch berechenbaren Welt. Dieses Ungleichung entspricht für
[mm]m=1[/mm] genau [mm] 5!<6![/mm] - Nun das sollte wohl stimmen.
Berechnen kannst Du es aber auch, indem Du die gesamte Gleichung
durch 5! teilst. Dann bleibt: [mm]1<6[/mm] Voila.
[mm](4*m+1)!<(4*m+2)![/mm]
Teilen durch [mm](4*m+1)![/mm]
[mm]1<4*m+2[/mm]
Das ist eine wahre Aussage - also hast Du das erforderliche bewiesen.
Genauso kannst Du es nun bei der Funktion [mm] g(n)[/mm] zeigen.
Ich hoffe, das war einigermaßen verständlich -
wenn nicht - bitte nachfragen!
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:33 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Ronntze |
Weiß jemand zufällig auch die Lösung für b)?
Die a) habe ich ja zum Teil schon slebst hinbekommen. Aber bei der b) weiß absolut nicht weiter.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ronntze!
> Weiß jemand zufällig auch die Lösung für b)?
> Die a) habe ich ja zum Teil schon slebst hinbekommen. Aber
> bei der b) weiß absolut nicht weiter.
Was ist denn mit dem Tipp von Lars:
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") https://matheraum.de/read?i=40739?
Hast du dir das mal angeguckt und gerechnet? Bis wohin bist du gekommen?
Viele Grüße,
Marcel
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